某研究机构对不同蔬果的代谢质量进行评分，分数越高代表代谢质量越高。现有13种蔬果，其中2种各为5分，4种各为4分，3种各为3分，4种各为2分。从中选取3种蔬果得分总和不低于13分的组合共有多少种？ A. 21B. 19C. 16D. 13

为了确定从13种蔬菜中选取3种蔬菜得分总和不低于13分的组合共有多少种，我们首先需要分析可能的得分组合。蔬菜的得分分别为5分、4分、3分和2分，其中： - 5分的蔬菜有2种 - 4分的蔬菜有4种 - 3分的蔬菜有3种 - 2分的蔬菜有4种 我们需要找到所有可能的3种蔬菜的组合，使得它们的总分不低于13分。我们分情况讨论： 1. **三个蔬菜的得分都是5分或4分或3分或2分，总分计算如下：** - **情况1：三个蔬菜的得分都是5分** - 由于只有2种5分的蔬菜，所以这种情况不可能。 - **情况2：两个蔬菜的得分是5分，一个蔬菜的得分是3分或4分** - 两个蔬菜的得分是5分，总分是 $5 + 5 = 10$ 分，需要一个蔬菜的得分至少是 $13 - 10 = 3$ 分。 - 选择两个5分的蔬菜有 $ \binom{2}{2} = 1 $ 种方式，选择一个3分的蔬菜有 $ \binom{3}{1} = 3 $ 种方式，选择一个4分的蔬菜有 $ \binom{4}{1} = 4 $ 种方式。 - 所以，总共有 $1 \times (3 + 4) = 7$ 种组合。 - **情况3：两个蔬菜的得分是4分，一个蔬菜的得分是5分** - 两个蔬菜的得分是4分，总分是 $4 + 4 = 8$ 分，需要一个蔬菜的得分至少是 $13 - 8 = 5$ 分。 - 选择两个4分的蔬菜有 $ \binom{4}{2} = 6 $ 种方式，选择一个5分的蔬菜有 $ \binom{2}{1} = 2 $ 种方式。 - 所以，总共有 $6 \times 2 = 12$ 种组合。 - **情况4：两个蔬菜的得分是4分，一个蔬菜的得分是4分** - 两个蔬菜的得分是4分，总分是 $4 + 4 = 8$ 分，需要一个蔬菜的得分至少是 $13 - 8 = 5$ 分。 - 由于只有4种4分的蔬菜，所以这种情况不可能。 - **情况5：两个蔬菜的得分是4分，一个蔬菜的得分是3分** - 两个蔬菜的得分是4分，总分是 $4 + 4 = 8$ 分，需要一个蔬菜的得分至少是 $13 - 8 = 5$ 分。 - 由于只有3种3分的蔬菜，所以这种情况不可能。 - **情况6：两个蔬菜的得分是3分，一个蔬菜的得分是5分** - 两个蔬菜的得分是3分，总分是 $3 + 3 = 6$ 分，需要一个蔬菜的得分至少是 $13 - 6 = 7$ 分。 - 由于没有7分的蔬菜，所以这种情况不可能。 - **情况7：两个蔬菜的得分是3分，一个蔬菜的得分是4分** - 两个蔬菜的得分是3分，总分是 $3 + 3 = 6$ 分，需要一个蔬菜的得分至少是 $13 - 6 = 7$ 分。 - 由于没有7分的蔬菜，所以这种情况不可能。 - **情况8：两个蔬菜的得分是3分，一个蔬菜的得分是3分** - 两个蔬菜的得分是3分，总分是 $3 + 3 = 6$ 分，需要一个蔬菜的得分至少是 $13 - 6 = 7$ 分。 - 由于没有7分的蔬菜，所以这种情况不可能。 - **情况9：两个蔬菜的得分是2分，一个蔬菜的得分是5分** - 两个蔬菜的得分是2分，总分是 $2 + 2 = 4$ 分，需要一个蔬菜的得分至少是 $13 - 4 = 9$ 分。 - 由于没有9分的蔬菜，所以这种情况不可能。 - **情况10：两个蔬菜的得分是2分，一个蔬菜的得分是4分** - 两个蔬菜的得分是2分，总分是 $2 + 2 = 4$ 分，需要一个蔬菜的得分至少是 $13 - 4 = 9$ 分。 - 由于没有9分的蔬菜，所以这种情况不可能。 - **情况11：两个蔬菜的得分是2分，一个蔬菜的得分是3分** - 两个蔬菜的得分是2分，总分是 $2 + 2 = 4$ 分，需要一个蔬菜的得分至少是 $13 - 4 = 9$ 分。 - 由于没有9分的蔬菜，所以这种情况不可能。 - **情况12：两个蔬菜的得分是2分，一个蔬菜的得分是2分** - 两个蔬菜的得分是2分，总分是 $2 + 2 = 4$ 分，需要一个蔬菜的得分至少是 $13 - 4 = 9$ 分。 - 由于没有9分的蔬菜，所以这种情况不可能。 2. **综上所述，所有可能的组合数为：** \[ 7 + 12 = 19 \] 因此，从中选取3种蔬菜得分总和不低于13分的组合共有 $\boxed{19}$ 种。