计算积分fe Rezdz,其中C为:-|||-(1)连接由原点O到点 1+i 的直线段;-|||-(2)连接由原点O到1的直线段及连接点1到点 1+i 的-|||-直线段所组成的折线.

考查要点：本题主要考查复变函数沿直线段和折线积分的计算方法，需要掌握参数方程法和分段积分的思路。

解题核心思路：

1. 参数化积分路径：将直线段或折线段用参数方程表示，转化为关于参数的定积分。
2. 计算被积函数：将复数函数$\text{Re}(z)$和$dz$用参数表达式代入。
3. 分段处理折线积分：对于折线路径，需将积分拆分为各线段上的积分之和。

破题关键点：

• 直线段参数化：例如从$O$到$1+i$的直线段可表示为$z(t) = (1+i)t$（$t \in [0,1]$）。
• 实部提取：$\text{Re}(z)$对应复数的实部，需正确分离参数表达式中的实部。
• 分段积分：折线积分需分别计算两段直线段的积分再相加。

第（1）题：直线段$O$到$1+i$

参数化路径

设路径$C$的参数方程为：
$z(t) = (1+i)t \quad (t \in [0,1])$
则：
$dz = (1+i)dt$

计算被积函数

$\text{Re}(z(t))$为$z(t)$的实部，即：
$\text{Re}(z(t)) = \text{Re}((1+i)t) = t$

积分计算

原积分转化为：
$\int_{C} \text{Re}(z) \, dz = \int_{0}^{1} t \cdot (1+i) \, dt = (1+i) \int_{0}^{1} t \, dt = (1+i) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(1+i)$

第（2）题：折线$O \to 1 \to 1+i$

分段处理

将路径分为两段：

1. 第一段$C_1$：从$O$到$1$，参数方程为：
   $z_1(t) = t \quad (t \in [0,1])$
   则：
   $dz_1 = dt, \quad \text{Re}(z_1(t)) = t$
   积分：
   $\int_{C_1} \text{Re}(z) \, dz = \int_{0}^{1} t \cdot dt = \frac{1}{2}$

2. 第二段$C_2$：从$1$到$1+i$，参数方程为：
   $z_2(t) = 1 + it \quad (t \in [0,1])$
   则：
   $dz_2 = i \, dt, \quad \text{Re}(z_2(t)) = 1$
   积分：
   $\int_{C_2} \text{Re}(z) \, dz = \int_{0}^{1} 1 \cdot i \, dt = i$

合并结果

总积分为两段之和：
$\frac{1}{2} + i$