题目

(4)xy'-y-sqrt(y^2)-x^(2)=0;

(4)$xy'-y-\sqrt{y^{2}-x^{2}}=0$;

题目解答

答案

将原方程改写为： \[ y' = \frac{y}{x} + \sqrt{\left(\frac{y}{x}\right)^2 - 1}. \] 令 $ t = \frac{y}{x} $，则 $ y = xt $，$ y' = t + x \frac{dt}{dx} $。代入得： \[ t + x \frac{dt}{dx} = t + \sqrt{t^2 - 1}, \] 化简得： \[ x \frac{dt}{dx} = \sqrt{t^2 - 1}. \] 分离变量并积分： \[ \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - 1}} = \int \frac{dx}{x}, \] \[ \ln \left| t + \sqrt{t^2 - 1} \right| = \ln |x| + C, \] \[ t + \sqrt{t^2 - 1} = Cx. \] 代回 $ t = \frac{y}{x} $： \[ \frac{y}{x} + \sqrt{\left( \frac{y}{x} \right)^2 - 1} = Cx, \] \[ y + \sqrt{y^2 - x^2} = Cx^2. \] **答案：** \[ \boxed{y + \sqrt{y^2 - x^2} = Cx^2} \]

解析

本题考查一阶齐次微分方程的求解。解题的关键思路是通过变量代换将齐次微分方程转化为可分离变量的微分方程，然后进行分离变量、积分求解，最后再将代换变量还原得到原方程的通解。

  1. 将原方程化为齐次方程的标准形式：
    已知原方程$xy'-y - \sqrt{y^{2}-x^{2}} = 0$，移项可得$xy'=y + \sqrt{y^{2}-x^{2}}$，两边同时除以$x$，得到$y'=\frac{y}{x}+\sqrt{(\frac{y}{x})^2 - 1}$。
  2. 进行变量代换：
    令$t = \frac{y}{x}$，则$y = xt$。
    对$y = xt$两边关于$x$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u = x$，$v = t$，可得$y^\prime=(xt)^\prime=t + x\frac{dt}{dx}$。
  3. 代入变量代换后的式子化简方程：
    将$y' = t + x\frac{dt}{dx}$和$t=\frac{y}{x}$代入$y'=\frac{y}{x}+\sqrt{(\frac{y}{x})^2 - 1}$中，得到$t + x\frac{dt}{dx}=t+\sqrt{t^2 - 1}$。
    两边同时减去$t$，化简可得$x\frac{dt}{dx}=\sqrt{t^2 - 1}$。
  4. 分离变量并积分：
    将$x\frac{dt}{dx}=\sqrt{t^2 - 1}$变形为$\frac{dt}{\sqrt{t^2 - 1}}=\frac{dx}{x}$。
    对等式两边分别积分：
    • 对于$\int\frac{dt}{\sqrt{t^2 - 1}}$，根据积分公式$\int\frac{dt}{\sqrt{t^2 - 1}}=\ln|t+\sqrt{t^2 - 1}|+C_1$。
    • 对于$\int\frac{dx}{x}$，根据积分公式$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C_2$。
      所以$\ln|t+\sqrt{t^2 - 1}|=\ln|x| + C$（$C = C_2 - C_1$为任意常数）。
  5. 去掉对数符号求解$t$的表达式：
    由$\ln|t+\sqrt{t^2 - 1}|=\ln|x| + C$，根据对数的性质可得$t+\sqrt{t^2 - 1}=Cx$（$C$为任意常数）。
  6. 将$t = \frac{y}{x}$代回得到原方程的通解：
    把$t = \frac{y}{x}$代入$t+\sqrt{t^2 - 1}=Cx$中，得到$\frac{y}{x}+\sqrt{(\frac{y}{x})^2 - 1}=Cx$。
    等式两边同时乘以$x$，化简可得$y+\sqrt{y^2 - x^2}=Cx^2$。