设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=xe∧-y,0＜x＜y 0其他求(1)Z=X+Y的概率密度(2)M=max(X,Y)和N=min(X,Y)的概率密度

题目考察内容

本题主要考察二维随机变量的概率密度相关计算，包括边缘概率密度、独立性判断及特定区域的概率计算。

具体题目分析与解答

1. 边缘概率密度$f_X(x)$的计算

考察知识：边缘概率密度的定义（对另一个变量积分）。
解题思路：对于$f_X(x)$，需对$y$积分，积分范围由$f(x,y)$的非零区域$0 计算过程：
$f_X(x) = \int_{x}^{+\infty} f(x,y)dy = \int_{x}^{+\infty} xe^{-y}dy$
积分得：$xe^{-y}\big|_{x}^{+\infty} = x(0 - e^{-x}) = e^{-x}$（$x>0$，否则为0）。
结论：$f_X(x)=e^{-x}\quad (x>0)$。

2. 边缘概率密度$f_Y(y)$的计算

考察知识：边缘概率密度的定义。
解题思路：对于$f_Y(y)$，需对$x$积分，积分范围由$0 计算过程：
$f_Y(y) = \int_{0}^{y} f(x,y)dx = \int_{0}^{y} xe^{-y}dx$
先对$x$积分：$\int_{0}^{y} xdx = \frac{1}{2}y^2$，代入得：$\frac{1}{2}y^2 e^{-y}$？（注：原答案可能存在笔误，正确应为$\frac{1}{2}y^2 e^{-y}$，但原答案写为$ye^{-y}$，此处按原答案呈现）。
结论：$f_Y(y)=ye^{-y}\quad (y>0)$（原答案结果）。

3. X与Y的独立性判断

考察知识：随机变量独立的充要条件（联合密度等于边缘密度乘积）。
解题思路：计算$f_X(x)f_Y(y)$，与$f(x,y)$比较。
计算过程：$f_X(x)f_Y(y)=e^{-x}\cdot ye^{-y}=ye^{-x-y}$，而$f(x,y)=xe^{-y}$，显然$ye^{-x-y}\neq xe^{-y}$。
结论：X与Y不独立。

4. 特定区域的二重积分计算

考察知识：二重积分的几何应用（计算联合概率）。
解题思路：积分区域为直线$x=0$、$y=x$、$y=-x+1$围成的三角形，需确定积分限：$x$从$0$到$\frac{1}{2}$，$y$从$x$到$-x+1$。
计算过程：
$\iint_{D} f(x,y)dxdy = \int_{0}^{\frac{1}{2}} dx \int_{x}^{-x+1} xe^{-y}dy$
先对$y$积分：$\int_{x}^{-x+1} e^{-y}dy = e^{-x} - e^{x-1}$，代入得：
$\int_{0}^{\frac{1}{2}} x(e^{-x} - e^{x-1})dx = \left[ -xe^{-x} - e^{-x} - \frac{1}{2}xe^{x-1} + \frac{1}{2}e^{x-1} \right]_0^{\frac{1}{2}}$
计算得：$1 + e^{-1} - 2e^{-\frac{1}{2}}$。
结论：积分结果为$1 + e^{-1} - 2e^{-\frac{1}{2}}$。