4、判断 若随机变量X与Y相互独立,则他们的-|||-函数g(X)和h(Y )(g,h是连续函数)也是相互独立的-|||-随机变量。-|||-(5分)-|||-A-|||-B X

考查要点：本题主要考查随机变量独立性的性质，特别是函数变换后的独立性判断。

核心思路：若两个随机变量$X$和$Y$相互独立，则它们的连续函数$g(X)$和$h(Y)$也保持独立性。关键在于理解独立性的传递性以及连续函数的可测性。

破题关键：

1. 独立性的定义：$X$和$Y$独立意味着它们的联合分布可分解为边缘分布的乘积。
2. 函数变换的性质：连续函数是Borel可测函数，而独立随机变量的Borel可测函数仍保持独立性。

定理应用：根据概率论中的重要定理，若随机变量$X$与$Y$独立，且$g(X)$和$h(Y)$是Borel可测函数（连续函数满足此条件），则$g(X)$与$h(Y)$也独立。

逻辑推导：

1. 独立性的保持：独立性不依赖于具体的函数形式，只要函数是可测的，独立性就会被保留。
2. 连续函数的可测性：连续函数必然属于Borel可测函数，因此$g(X)$和$h(Y)$的独立性由$X$和$Y$的独立性直接推出。

特殊情况验证：

• 若$g$或$h$为常数函数，此时对应的随机变量退化为常数，但仍与任何随机变量独立。
• 非线性变换（如平方、指数等）不会破坏独立性，只要函数连续。