题目

【题目】证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程a_0x^(2n+1)+a_1x^(2n)+⋯+a_(2n)x+a_(2n+1)=0至少有一实根，其中a0,a1,a2n+1均为常数， n∈N

【题目】证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程a_0x^(2n+1)+a_1x^(2n)+⋯+a_(2n)x+a_(2n+1)=0至少有一实根，其中a0,a1,a2n+1均为常数， n∈N

题目解答

答案

【解析】当的绝对值充分大时,f(x)=a_0x^(2n+1)+a_1x^(2n)+⋯+a_(2n)x+a_(2n+1) 的符号取决于a0的符号，即当为正时与a同号，当x为负时与a异号而 a_0≠0 .因f()上述连续函数,它在某充分大的区间的两端处异号,由零点定理可知它在区间内某一点处必定为零,故方程f()=0至少有一实根

解析

考查要点：本题主要考查多项式函数的连续性、奇数次多项式的极限趋势以及零点定理（介值定理）的应用。

解题核心思路：

  1. 连续性：所有多项式函数在其定义域内（实数集）都是连续的。
  2. 奇数次项的主导作用：当$x$的绝对值足够大时，最高次项（奇数次）会主导整个多项式的值，使得$f(x)$在$x \to +\infty$和$x \to -\infty$时趋向相反的无穷。
  3. 零点定理：若连续函数$f(x)$在某两点处的函数值符号相反，则在这两点之间至少存在一个实根。

破题关键：
通过分析最高次项的符号趋势，找到两个$x$值使得$f(x)$在这两点处符号相反，进而应用零点定理。

步骤1：分析多项式函数的连续性

多项式函数$f(x) = a_0x^{2n+1} + a_1x^{2n} + \cdots + a_{2n}x + a_{2n+1}$在实数范围内连续。

步骤2：确定最高次项的主导作用

当$|x|$足够大时，最高次项$a_0x^{2n+1}$的值远大于其他项，因此：

  • 当$x \to +\infty$时，$f(x)$的符号由$a_0$决定：
    • 若$a_0 > 0$，则$f(x) \to +\infty$；
    • 若$a_0 < 0$，则$f(x) \to -\infty$。
  • 当$x \to -\infty$时，由于$2n+1$为奇数，$x^{2n+1}$为负，因此：
    • 若$a_0 > 0$，则$f(x) \to -\infty$；
    • 若$a_0 < 0$，则$f(x) \to +\infty$。

步骤3：构造符号相反的两点

  • 选择足够大的正数$X$，使得$f(X)$的符号与$a_0$相同。
  • 选择足够大的负数$-X$，使得$f(-X)$的符号与$a_0$相反。
    因此，$f(X)$与$f(-X)$符号相反。

步骤4：应用零点定理

由于$f(x)$连续且在$[-X, X]$两端点处符号相反，根据零点定理，存在$c \in (-X, X)$，使得$f(c) = 0$，即方程至少有一个实根。