注 类似地，设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0，则lim_(ntoinfty)[(nint_(a)^a+frac(1)/(n)f(x)dx)(f(a))]^(^n)=____.

为了解决给定的极限问题，我们首先分析极限内的表达式： \[ \lim_{n\to\infty}\left[\frac{n\int_{a}^{a+\frac{1}{n}}f(x)dx}{f(a)}\right]^n \] 首先，我们需要评估积分 $\int_{a}^{a+\frac{1}{n}} f(x) \, dx$。由于 $f(x)$ 在 $x = a$ 处可导，它在 $a$ 附近是连续的。因此，对于大的 $n$，$f(x)$ 在区间 $[a, a + \frac{1}{n}]$ 上的值接近 $f(a)$。我们可以使用积分中值定理，该定理指出存在一个点 $c \in [a, a + \frac{1}{n}]$，使得： \[ \int_{a}^{a+\frac{1}{n}} f(x) \, dx = f(c) \left(a + \frac{1}{n} - a\right) = \frac{f(c)}{n} \] 由于 $c$ 在 $a$ 和 $a + \frac{1}{n}$ 之间，当 $n \to \infty$ 时，$c \to a$。因此，$f(c) \to f(a)$。将此代入表达式中，我们得到： \[ n \int_{a}^{a+\frac{1}{n}} f(x) \, dx = n \cdot \frac{f(c)}{n} = f(c) \] 当 $n \to \infty$ 时，$f(c) \to f(a)$。因此，极限内的表达式变为： \[ \left[\frac{f(c)}{f(a)}\right]^n \] 当 $n \to \infty$ 时，$f(c) \to f(a)$，所以 $\frac{f(c)}{f(a)} \to 1$。我们需要评估 $1$ 的无穷次方的极限，这是一个不确定形式。为了解决这个问题，我们可以使用自然对数。设： \[ L = \lim_{n\to\infty}\left[\frac{f(c)}{f(a)}\right]^n \] 对两边取自然对数，我们得到： \[ \ln L = \lim_{n\to\infty} n \ln \left(\frac{f(c)}{f(a)}\right) \] 由于 $f(c) \to f(a)$，我们可以使用近似 $\ln(1 + x) \approx x$ 对于小的 $x$。设 $x = \frac{f(c) - f(a)}{f(a)}$，则： \[ \ln \left(\frac{f(c)}{f(a)}\right) \approx \frac{f(c) - f(a)}{f(a)} \] 因此，表达式变为： \[ \ln L = \lim_{n\to\infty} n \cdot \frac{f(c) - f(a)}{f(a)} \] 由于 $c = a + \frac{\theta}{n}$ 对于某个 $\theta \in [0, 1]$，我们有 $f(c) - f(a) = f\left(a + \frac{\theta}{n}\right) - f(a)$。使用 $f$ 在 $a$ 处的导数的定义，我们得到： \[ f\left(a + \frac{\theta}{n}\right) - f(a) \approx f'(a) \cdot \frac{\theta}{n} \] 将此代入表达式中，我们有： \[ \ln L = \lim_{n\to\infty} n \cdot \frac{f'(a) \cdot \frac{\theta}{n}}{f(a)} = \lim_{n\to\infty} \frac{f'(a) \cdot \theta}{f(a)} = \frac{f'(a)}{f(a)} \] 由于 $\theta$ 是一个介于 0 和 1 之间的数，当 $n \to \infty$ 时，$\theta$ 的值不影响极限。因此： \[ \ln L = \frac{f'(a)}{f(a)} \] 对两边取指数，我们得到： \[ L = e^{\frac{f'(a)}{f(a)}} \] 因此，给定的极限是： \[ \boxed{e^{\frac{f'(a)}{f(a)}}} \]