任意 阶矩阵 都可以经过初等变换化为单位矩阵 . A. 对 B. 错

考查要点：本题主要考查矩阵初等变换与矩阵可逆性的关系，以及学生对逆矩阵存在条件的理解。

解题核心思路：

• 关键点1：只有可逆矩阵（即行列式不为零的矩阵）才能通过初等行变换化为单位矩阵。
• 关键点2：并非所有矩阵都可逆（例如行列式为零的矩阵），因此原命题“任意n阶矩阵都可以经过初等变换化为单位矩阵”是错误的。

破题关键：
通过逆矩阵的定义可知，若矩阵可逆，则存在逆矩阵使得乘积为单位矩阵；而初等变换的本质是左乘初等矩阵，因此若矩阵能化为单位矩阵，则其必可逆。但并非所有矩阵都可逆，故原命题不成立。

逆矩阵的定义：
若n阶矩阵$A$存在n阶矩阵$B$，使得$AB = BA = E$（$E$为单位矩阵），则称$A$可逆，$B$为$A$的逆矩阵，记作$B = A^{-1}$。

初等变换与可逆性的关系：

• 若矩阵$A$可通过初等行变换化为单位矩阵$E$，则存在一系列初等矩阵$P_1, P_2, \dots, P_k$，使得：
  $A \cdot P_1 P_2 \cdots P_k = E.$
  令$B = P_1 P_2 \cdots P_k$，则$AB = E$，即$B = A^{-1}$，说明$A$可逆。
• 反之，若$A$可逆，则必存在有限次初等变换将其化为$E$。

结论：
由于并非所有n阶矩阵都可逆（例如行列式为零的矩阵），因此原命题“任意n阶矩阵都可以经过初等变换化为单位矩阵”是错误的。