91、某超市购进一批商品，按照能获得 50%的利润的定价，结果只销售了 70%，为尽快将余下的商品销售出去，超市决定打折出售，这样所获得的全部利润是原来能获得利润的 82%，问余下的商品几折出售？（）A. 6.5 折B. 7 折C. 7.5 折D. 8 折

考查要点：本题主要考查利润与折扣问题的应用，涉及成本、定价、利润的计算，以及折扣率的确定。

解题核心思路：

1. 设定变量：假设成本价为$C$，总数量为$N$，原定价为成本的$150\%$（即$1.5C$）。
2. 计算预期利润：原计划全部售出的总利润为$0.5NC$。
3. 实际销售情况：
   • 前$70\%$按原价售出，利润为$0.7N \times 0.5C = 0.35NC$。
   • 剩余$30\%$按$x$折售出，利润为$0.3N \times (1.5C \cdot \frac{x}{10} - C)$。
4. 建立方程：实际总利润为原利润的$82\%$，即$0.35NC + 0.3N \times (1.5C \cdot \frac{x}{10} - C) = 0.41NC$。
5. 解方程求$x$：通过代数运算求出$x$的值，确定折扣率。

破题关键点：

• 正确表示打折后的售价：原定价的$x$折即$1.5C \cdot \frac{x}{10}$。
• 利润计算：每件利润为售价减成本，总利润需分段计算后求和。

设定变量：

• 成本价为$C$，总数量为$N$，原定价为$1.5C$。
• 原预期总利润为$0.5NC$（全部售出时）。

实际销售情况：

1. 已售部分：

   • 数量：$70\%N = 0.7N$
   • 利润：每件利润$1.5C - C = 0.5C$，总利润$0.7N \times 0.5C = 0.35NC$。

2. 剩余部分：

   • 数量：$30\%N = 0.3N$
   • 售价：原定价的$x$折，即$1.5C \cdot \frac{x}{10}$
   • 利润：每件利润$1.5C \cdot \frac{x}{10} - C$，总利润$0.3N \times \left(1.5C \cdot \frac{x}{10} - C\right)$。

建立方程：
实际总利润为原利润的$82\%$，即：
$0.35NC + 0.3N \times \left(1.5C \cdot \frac{x}{10} - C\right) = 0.82 \times 0.5NC$
化简方程：

1. 两边除以$NC$：
   $0.35 + 0.3 \times \left(0.15x - 1\right) = 0.41$
2. 展开并整理：
   $0.35 + 0.045x - 0.3 = 0.41 \quad \Rightarrow \quad 0.05 + 0.045x = 0.41$
3. 解得：
   $0.045x = 0.36 \quad \Rightarrow \quad x = 8$

结论：余下商品按原定价的$8$折出售。