7.(单选题，10分)若f(z)=xy^2+ix^2y，则f(z)（）A. 仅在直线y=x上可导B. 仅在直线y=-x上可导C. 仅在(0,0)点解析D. 仅在(0,0)点可导

考查要点：本题主要考查复变函数的可导性与解析性的判定，需应用柯西-黎曼方程进行分析。

解题核心思路：

1. 分解函数：将复变函数$f(z)$分解为实部$u(x,y)$和虚部$v(x,y)$。
2. 计算偏导数：分别求出$u$和$v$的四个一阶偏导数。
3. 代入柯西-黎曼方程：联立方程$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$和$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$，求解满足条件的点。
4. 判断可导性与解析性：若仅在孤立点满足柯西-黎曼方程，则函数仅在该点可导，但无法在任何邻域内满足，故不解析。

破题关键点：

• 柯西-黎曼方程的解唯一对应原点：通过联立方程发现，只有$(0,0)$同时满足所有条件。
• 可导性与解析性的区别：解析要求函数在某邻域内每一点都可导，而本题仅在$(0,0)$可导，因此不解析。

设$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$，其中：
$u(x,y) = xy^2, \quad v(x,y) = x^2y$

步骤1：计算偏导数
$\frac{\partial u}{\partial x} = y^2, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2xy \\ \frac{\partial v}{\partial x} = 2xy, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = x^2$

步骤2：代入柯西-黎曼方程
$\begin{cases}\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \implies y^2 = x^2 \\\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \implies 2xy = -2xy\end{cases}$

步骤3：解方程组

• 第二个方程化简得$4xy = 0$，即$x=0$或$y=0$。
• 结合第一个方程$y^2 = x^2$：
  • 若$x=0$，则$y^2=0 \implies y=0$，得唯一解$(0,0)$。
  • 若$y=0$，则$x^2=0 \implies x=0$，仍得$(0,0)$。

步骤4：验证可导性
在$(0,0)$处，计算导数的极限：
$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(\Delta z)}{\Delta z} = \lim_{\Delta x + i\Delta y \to 0} \frac{\Delta x (\Delta y)^2 + i (\Delta x)^2 \Delta y}{\Delta x + i \Delta y}$
无论沿何种路径趋近，极限均为$0$，故$f(z)$在$(0,0)$处可导。

步骤5：判断解析性
解析要求函数在某邻域内每一点均可导，但柯西-黎曼方程仅在$(0,0)$处成立，因此$f(z)$不解析。