向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。向量的大小即向量的模(长度),记作|AB|AB即向量的大小,记作|AB|。]向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。向量表示方法:(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如AB,注意起点在前,终点在后;(2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如AB,AB,AB等;(3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与AB轴、AB轴方向相同的两个单位向量AB,AB为基底,则平面内的任一向量AB可表示为AB,称AB为向量AB的坐标,AB=AB叫做向量AB的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。向量和数量的区别:向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。如已知A(1,2),B(4,2),则把向量AB按向量AB=(-1,3)平移后得到的向量是_____(答:(3,0))②零向量[ 长度为0的向量,记为AB,其方向是任意的,AB与任意向量平行AB零向量AB=ABAB|AB|=0。由于AB的方向是任意的,AB且规定AB平行于任何向量,故在有AB关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注意与0的区别)③单位向量 模为1个单位长度的向量,向量AB为单位向量AB|AB|=1。(与AB共线的单位向量是AB);④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量ABAB。任意一组AB平行向量都可以移到同一直线上,方向相同或相反的向量,称为平行向量,记作AB∥AB,规定零向量和任何向量平行。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!(因为有AB);④三点AB共线ABAB共线;由题意得AB,得AB或AB。例7.已知AB(1)求AB;(2)当AB为何实数时,ABABAB与AB平行, 平行时它们是同向还是反向?解析:(1)因为AB所以AB则AB(2)ABABABAB,ABAB因为ABABAB与AB平行,所以AB即得AB。此AB时ABABABAB,ABAB,则ABAB,即此时向量AB与AB方向相反。点评:上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现,重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。题型5:共线向量定理及平面向量基本定理例8.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足AB,其中α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )A. 3x+2y-11=0 B. (x-1)2+(y-2)2=5 C. 2x-y=0 D. x+2y-5=0 E. 解法一:设AB,则AB。 F. [来源:学+科+网Z+X+X+K] G. 于是AB,先消去AB,由AB得AB。 。 解法二:由平面向量共线定理, C共线。 的轨迹为直线AB,由两点式直线方程得AB即选 。 点评:熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算;两个向量平行的坐标表示;运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合。 题型6:数量积的概念 例9.判断下列各命题正确与否: (1)AB; (2)AB; (3)若AB,则AB; (4)若AB,则AB当且仅当AB时成立; (5)AB对任意AB向量都成立; (6)对任意向量AB,有AB。 [来源:学|科|网Z|X|X|K] 点评:通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系,重点清楚AB为零向量,而AB为零。 R,则下列等式不一定成立的是( ) ABAB AB m(AB)=mAB+mAB AB [来源:学,科,网Z,X,X,K] [来源:学*科*网Z*X*X*K] ①② ②③ ③④ D.②④ ;因为AB,而AB;而AB方向与AB方向不一定同向。 ①平面向量的数量积不满足结合律。故①假;②由向量的减法运算可知|AB|、|AB|、|AB-AB|恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边”,故②真;③因AB为[(AB·AB)AB-(AB·AB)AB]·AB=(AB·AB)AB·AB-(AB·AB)AB·AB=0,所以垂直.故③假;④(3AB+2AB)(3AB-2AB)=9·AB·AB-4AB·AB=9|AB|2-4|AB|2成立。故④真。 点评:本题考查平面向量的数量积及运算律,向量的数量积运算不满足结合律。 题型7:向量的夹角 例11. (1)已知向量AB、AB满足AB、AB,且AB,则AB与AB的夹角为( ) AB AB AB AB (2)已知向量AB=(cosAB,sinAB),AB=(cosAB,sinAB),且ABABAB,那么AB与AB的夹角的大小是 (3)已知两单位向量AB与AB的夹角为AB,若AB,试求AB与AB的夹角。 (4)| AB|=1,|AB AB |=2,AB= AB+ AB,且AB⊥AB,则向量AB与AB的夹角为AB ( ) 30° 60° C.120° D.150° ;(2)AB; (3)由题意,AB,且AB与ABAB的夹角为AB,所以,AB, ABABAB,AB,同理可得AB。 而ABAB, 设AB为AB与AB的AB夹角,则AB。 ;设所求两向量的夹角为AB ABAB AB 即:AB 所以AB 点评AB:解决向量的夹角问题时要借助于公式AB,要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于AB这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直(平行)的充要条件必需掌握。 例12.(1)设平面向量AB、AB、AB的和AB。如果向量AB、AB、AB,满足AB,且AB顺AB时针旋转AB后与AB同AB向,其中AB,则( ) -AB+AB+AB=AB AB-AB+AB=AB AB+AB-AB=ABAB AB+AB+AB=AB (2)已知AB 且关于AB的方程AB有实根, 则AB与AB的夹角的取值范围是( ) AB AB AB D.AB ;AB(2)B; 点评:对于平面向量的数量积要AB学会技巧性应用,解决好实际问题。 题型8:向量的模 例13.(1)AB已知向量AB与AB的夹角为AB,AB则AB等于( ) 5 4 3 1 (2)设向量AB满足AB,AB,则AB( ) 1 B.2AB C.4 D.5 ;(2)D; 点评:掌握向量数量积的逆运算AB,以及AB。 题型9AB:向量垂直、AB平行的判定 例14.已知向量AB,AB,且AB,则AB 。 解析:∵AB,AB∴AB,∴AB,∴AB。 例15.已知AB,AB,ABAB,按下列条件求实数AB的值。 (1)AB;(2)AB;AB。 [来源:学,科,网] (1)ABABAB; (2)ABABAB; ABAB AB。 点评:此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。

向量的概念

①向量 既有大小又有方向的量。向量的大小即向量的模(长度),记作||即向量的大小,记作||。]向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。

向量表示方法:(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前,终点在后;(2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如,,等;(3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与轴、轴方向相同的两个单位向量,为基底,则平面内的任一向量可表示为,称为向量的坐标,=叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

向量和数量的区别:向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。如已知A(1,2),B(4,2),则把向量按向量=(-1,3)平移后得到的向量是_____(答:(3,0))

②零向量[ 长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行零向量=||=0。由于的方向是任意的,且规定平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注意与0的区别)

③单位向量 模为1个单位长度的向量,向量为单位向量||=1。(与共线的单位向量是);

④平行向量(共线向量)

方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上,方向相同或相反的向量,称为平行向量,记作∥,规定零向量和任何向量平行。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。

提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!(因为有);④三点共线共线;

由题意得,得或。

例7.已知(1)求;(2)当为何实数时,与平行, 平行时它们是同向还是反向?

解析:(1)因为所以则

(2),因为与平行,所以即得。此时,,则,即此时向量与方向相反。

点评:上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现,重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。

题型5:共线向量定理及平面向量基本定理

例8.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )

A. 3x+2y-11=0
B. (x-1)2+(y-2)2=5
C. 2x-y=0
D. x+2y-5=0
E. 解法一:设,则。
F. [来源:学+科+网Z+X+X+K]
G. 于是,先消去,由得。
。
解法二:由平面向量共线定理,

C共线。
的轨迹为直线AB,由两点式直线方程得即选
。
点评:熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算;两个向量平行的坐标表示;运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合。
题型6:数量积的概念
例9.判断下列各命题正确与否:
(1); (2); (3)若,则;
(4)若,则当且仅当时成立;
(5)对任意向量都成立; (6)对任意向量,有。
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
点评:通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系,重点清楚为零向量,而为零。
R,则下列等式不一定成立的是( )


m()=m+m

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[来源:学*科*网Z*X*X*K]
①②
②③
③④ D.②④
;因为,而;而方向与方向不一定同向。
①平面向量的数量积不满足结合律。故①假;②由向量的减法运算可知||、||、|-|恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边”,故②真;③因为[(·)-(·)]·=(·)·-(·)·=0,所以垂直.故③假;④(3+2)(3-2)=9··-4·=9||2-4||2成立。故④真。
点评:本题考查平面向量的数量积及运算律,向量的数量积运算不满足结合律。
题型7:向量的夹角
例11.
(1)已知向量、满足、,且,则与的夹角为( )




(2)已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且,那么与的夹角的大小是
(3)已知两单位向量与的夹角为,若,试求与的夹角。
(4)| |=1,| |=2,= + ,且⊥,则向量与的夹角为 ( )
30°
60° C.120° D.150°
;(2);
(3)由题意,,且与的夹角为,所以,,
,,同理可得。
而,
设为与的夹角,则。
;设所求两向量的夹角为

即: 所以
点评:解决向量的夹角问题时要借助于公式,要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直(平行)的充要条件必需掌握。
例12.(1)设平面向量、、的和。如果向量、、,满足,且顺时针旋转后与同向,其中,则( )
-++=
-+=
+-=
++=
(2)已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是( )


D.
;(2)B;
点评:对于平面向量的数量积要学会技巧性应用,解决好实际问题。
题型8:向量的模
例13.(1)已知向量与的夹角为,则等于( )
5
4
3
1
(2)设向量满足,,则( )
1 B.2 C.4 D.5
;(2)D;
点评:掌握向量数量积的逆运算,以及。
题型9:向量垂直、平行的判定
例14.已知向量,,且,则 。
解析:∵,∴,∴,∴。
例15.已知,,,按下列条件求实数的值。
(1);(2);。
[来源:学,科,网]
(1);
(2);

。
点评:此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。