题目

计算行列式2 1 0 0-|||--1 2 1 0-|||-0 -1 2 1-|||-0 0 -1 2.

计算行列式 $\begin{vmatrix} 2 &1 & 0 &0 \\ -1& 2 & 1 &0 \\ 0 & -1& 2 &1 \\ 0&0 & -1&2 \end{vmatrix}$ .

题目解答

答案

已知四阶行列式为 $\begin{vmatrix} 2 &1 & 0 &0 \\ -1& 2 & 1 &0 \\ 0 & -1& 2 &1 \\ 0&0 & -1&2 \end{vmatrix}$ ，先对行列式进行变换——将第二行元素的 $2$ 倍加到第一行，则行列式变为： $\begin{vmatrix} 2+(-1)\times2&1 +2\times2 & 0 +1\times2&0 \\ -1& 2 & 1 &0 \\ 0 & -1& 2 &1 \\ 0&0 & -1&2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 &5 & 2 &0 \\ -1& 2 & 1 &0 \\ 0 & -1& 2 &1 \\ 0&0 & -1&2 \end{vmatrix}$ ，此时，将行列式按照第一列元素展开，则有四阶行列式的值为： $a_{21}A_{21}=\left(-1\right)\times\left(-1\right)^{2+1}M_{21}=\left(-1\right)\times\left(-1\right)M_{21}=M_{21}$ ，划掉元素 $a_{21}$ 所在的第二行第一列，则有： $M_{21}=\begin{vmatrix} 5 & 2 &0 \\ -1& 2 &1 \\ 0 & -1&2 \end{vmatrix}$ ；此时，将第二行元素的 $5$ 倍加到第一行，则此三阶行列式变为： $\begin{vmatrix} 5+(-1)\times5 & 2 +2\times5&0 +1\times5\\ -1& 2 &1 \\ 0 & -1&2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 12 &5 \\ -1& 2 &1 \\ 0 & -1&2 \end{vmatrix}$ ；将行列式按照第一列元素展开，则有 $a_{21}A_{21}=\left(-1\right)\times\left(-1\right)^{2+1}M_{21}=\left(-1\right)\times\left(-1\right)M_{21}=M_{21}=$ $\begin{vmatrix} 12 &5 \newline -1 &2 \end{vmatrix}=12\times2-(-1)\times5=24+5=29$ ；此三阶行列式的值为 $29$ ；又四阶行列式的值等于这个三阶行列式，则 $\begin{vmatrix} 2 &1 & 0 &0 \\ -1& 2 & 1 &0 \\ 0 & -1& 2 &1 \\ 0&0 & -1&2 \end{vmatrix}=29$ 。

解析

步骤 1：行列式变换
将第二行元素的倍加到第一行，得到新的行列式。
步骤 2：行列式展开
将行列式按照第一列元素展开，得到一个三阶行列式。
步骤 3：计算三阶行列式
计算得到的三阶行列式的值。
步骤 4：计算四阶行列式
将三阶行列式的值代入，得到四阶行列式的值。