微分方程 yy'' + 2(y')^2 = 0 的通解为（）A. y^3 = C_1x + C_2B. y^2 = C_1x + C_2C. y^3 = C_1x^2 + C_2D. y^2 = C_1x^2 + C_2

考查要点：本题主要考查二阶微分方程的降阶解法，通过变量替换将方程转化为可分离变量的一阶微分方程，进而求解通解。

解题核心思路：

1. 变量替换：设 $p = y'$，利用链式法则将 $y''$ 表示为 $p \frac{dp}{dy}$，从而将原方程降阶为关于 $p$ 和 $y$ 的一阶方程。
2. 分离变量积分：通过分离变量法求解降阶后的方程，得到 $y'$ 的表达式。
3. 二次积分：对 $y'$ 再次积分，得到原方程的通解。

破题关键点：

• 正确处理变量替换，将二阶方程转化为一阶方程。
• 分离变量积分时注意积分常数的引入和合并。

步骤1：变量替换降阶
设 $p = y'$，则 $y'' = p \frac{dp}{dy}$。代入原方程 $yy'' + 2(y')^2 = 0$，得：
$y \cdot p \cdot \frac{dp}{dy} + 2p^2 = 0.$

步骤2：分离变量求解
整理方程：
$\frac{dp}{p} = -\frac{2}{y} dy.$
两边积分：
$\ln |p| = -2 \ln |y| + C_1 \implies p = \frac{C_1}{y^2}.$
即 $y' = \frac{C_1}{y^2}$。

步骤3：二次积分求通解
分离变量并积分：
$\int y^2 dy = \int C_1 dx \implies \frac{y^3}{3} = C_1 x + C_2.$
整理得通解：
$y^3 = C_1 x + C_2.$