题目

1、数列极限lim_(ntoinfty)n((1)/(n^2)+pi+(1)/(n^2)+2pi+...+(1)/(n^2)+npi)=____

1、数列极限$\lim_{n\to\infty}n(\frac{1}{n^{2}+\pi}+\frac{1}{n^{2}+2\pi}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+n\pi})$=____

题目解答

答案

设 $S_n = \frac{1}{n^2 + \pi} + \frac{1}{n^2 + 2\pi} + \cdots + \frac{1}{n^2 + n\pi}$，则 $$ \frac{n}{n^2 + n\pi} \leq S_n \leq \frac{n}{n^2 + \pi}. $$ 两边乘以 $n$ 得 $$ \frac{n^2}{n^2 + n\pi} \leq nS_n \leq \frac{n^2}{n^2 + \pi}. $$ 求极限得 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + n\pi} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + \pi} = 1. $$ 由夹逼定理， $$ \lim_{n \to \infty} nS_n = \boxed{1}. $$

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是利用夹逼定理处理求和形式的极限问题。

解题核心思路：

  1. 观察求和项的结构：每一项的分母为$n^2 + k\pi$，当$n$很大时，分母中的$n^2$占主导地位，但$k\pi$的影响不可忽略。
  2. 寻找上下界：由于分母随$k$递增，每一项$\frac{1}{n^2 + k\pi}$是递减的，因此最小项出现在$k=n$，最大项出现在$k=1$。
  3. 构造不等式：通过比较求和项的最小值和最大值，建立关于$S_n$的上下界。
  4. 应用夹逼定理：将不等式两边乘以$n$后，分别求极限，最终确定原式的极限值。

破题关键点：

  • 利用单调性确定上下界：明确分母随$k$递增，从而确定每一项的大小关系。
  • 简化极限表达式：通过约分和无穷小量分析，将复杂分式转化为易求极限的形式。

设$S_n = \frac{1}{n^2 + \pi} + \frac{1}{n^2 + 2\pi} + \cdots + \frac{1}{n^2 + n\pi}$，分析如下：

确定$S_n$的上下界

  • 最小项：当$k = n$时，分母最大，对应项为$\frac{1}{n^2 + n\pi}$，因此$S_n \geq n \cdot \frac{1}{n^2 + n\pi} = \frac{n}{n^2 + n\pi}$。
  • 最大项：当$k = 1$时，分母最小，对应项为$\frac{1}{n^2 + \pi}$，因此$S_n \leq n \cdot \frac{1}{n^2 + \pi} = \frac{n}{n^2 + \pi}$。

构造不等式并乘以$n$

将不等式两边乘以$n$，得到：
$\frac{n^2}{n^2 + n\pi} \leq nS_n \leq \frac{n^2}{n^2 + \pi}.$

求极限

  • 下界极限：$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + n\pi} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{\pi}{n}} = 1$。
  • 上界极限：$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + \pi} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{\pi}{n^2}} = 1$。

应用夹逼定理

由于上下界极限均为$1$，故原式极限为：
$\lim_{n \to \infty} nS_n = 1.$