题目

(15分)如图,四棱锥 P-ABCD 中, bot 底面ABCD, PA=AC=2 =1,-|||-=sqrt (3).-|||-(1)若 bot PB, 证明: ykparallel 平面P BC;-|||-(2)若 bot DC, 且二面角 A-CP-D 的正弦值为 dfrac (sqrt {42)}(7), 求AD.-|||-P-|||-D-|||----|||-A ----- C-|||-B

题目解答

答案



解析

考查要点：本题主要考查空间几何中的线面平行判定、二面角的平面角求解，以及空间向量的应用。

解题思路：

  1. 第一问：通过线面垂直的判定定理，证明$AD \perp$平面$PAB$，进而得到$AD \parallel BC$，最终利用线面平行的判定定理得出结论。
  2. 第二问：通过建立坐标系或几何构造法，找到二面角的平面角，结合三角函数关系和方程求解$AD$的长度。

破题关键：

  • 第一问的关键在于利用垂直关系推导平行关系，需注意线面垂直与线线垂直的转化。
  • 第二问需准确构造二面角的平面角，通过几何关系或向量法求解角度，结合已知正弦值建立方程。

第（1）题

证明线面垂直

  1. 由$PA \perp$底面$ABCD$，得$PA \perp AD$。
  2. 已知$AD \perp PB$，且$PA \cap PB = P$，故$AD \perp$平面$PAB$。

推导线线平行

  1. 平面$PAB$中，$AD \perp AB$。
  2. 由$BC^2 + AB^2 = AC^2$，得$BC \perp AB$。
  3. 因$AD \parallel BC$（同垂直于$AB$），且$BC \subset$平面$PBC$，故$AD \parallel$平面$PBC$。

第（2）题

建立几何模型

  1. 过$D$作$DE \perp AC$于$E$，过$E$作$EF \perp CP$于$F$，连接$DF$。
  2. 由$PA \perp$底面$ABCD$，得平面$PAC \perp$平面$ABCD$，故$DE \perp$平面$PAC$。
  3. 由$EF \perp CP$，得$CP \perp$平面$DEF$，故$\angle DFE$为二面角的平面角。

计算几何量

  1. 设$AD = x$，则$CD = \sqrt{4 - x^2}$。
  2. 等面积法求$DE$：$DE = \dfrac{x \sqrt{4 - x^2}}{2}$。
  3. 由$\triangle EFC$为等腰直角三角形，得$EF = \dfrac{4 - x^2}{2\sqrt{2}}$。
  4. 由$\tan \angle DFE = \sqrt{6}$，解得$x = \sqrt{3}$。