题目
4.计算题将函数f(z)=(1)/((z-1)(z-2))在圆环域1<|z-1|<+∞内underline(展开成罗朗)级数。
4.计算题
将函数$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$在圆环域1<|z-1|<+∞内$\underline{展开成罗朗}$级数。
题目解答
答案
### 问题解析
题目要求将函数 $ f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)} $ 在圆环域 $ 1 < |z-1| < +\infty $ 内展开成罗朗级数。
### 解析步骤
1. **函数分解**：
首先，我们将函数 $ f(z) $ 进行部分分式分解：
\[
f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)} = \frac{A}{z-1} + \frac{B}{z-2}
\]
通过解方程组：
\[
1 = A(z-2) + B(z-1)
\]
令 $ z = 1 $：
\[
1 = A(1-2) + B(1-1) \implies 1 = -A \implies A = -1
\]
令 $ z = 2 $：
\[
1 = A(2-2) + B(2-1) \implies 1 = B \implies B = 1
\]
因此：
\[
f(z) = \frac{-1}{z-1} + \frac{1}{z-2}
\]
2. **罗朗级数展开**：
我们需要在圆环域 $ 1 < |z-1| < +\infty $ 内展开 $ f(z) $。在这个域内， $ |z-1| > 1 $，因此我们可以将 $ \frac{1}{z-2} $ 展开为 $ z-1 $ 的级数。
首先，考虑 $ \frac{1}{z-2} $：
\[
\frac{1}{z-2} = \frac{1}{(z-1) - 1} = \frac{1}{z-1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{z-1}}
\]
由于 $ |z-1| > 1 $，我们可以使用几何级数展开：
\[
\frac{1}{1 - \frac{1}{z-1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{z-1} \right)^n
\]
因此：
\[
\frac{1}{z-2} = \frac{1}{z-1} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{z-1} \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(z-1)^{n+1}}
\]
3. **组合展开**：
现在我们将 $ f(z) $ 的两个部分组合起来：
\[
f(z) = \frac{-1}{z-1} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(z-1)^{n+1}}
\]
将第一项也写成级数形式：
\[
\frac{-1}{z-1} = -\frac{1}{(z-1)^1}
\]
因此：
\[
f(z) = -\frac{1}{z-1} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(z-1)^{n+1}}
\]
将第一项并入级数：
\[
f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(z-1)^{n+1}} - \frac{1}{z-1}
\]
重新调整级数的起始项：
\[
f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(z-1)^{n+1}} - \frac{1}{z-1} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(z-1)^n} - \frac{1}{z-1}
\]
合并项：
\[
f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(z-1)^{n+1}}
\]
### 最终答案
函数 $ f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)} $ 在圆环域 $ 1 < |z-1| < +\infty $ 内的罗朗级数展开为：
\[
f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(z-1)^{n+1}}
\]
### 修正
实际上，我们需要注意第一项的处理。正确的展开应该是：
\[
f(z) = -\frac{1}{z-1} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(z-1)^{n+1}}
\]
将第一项并入级数：
\[
f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(z-1)^{n+1}} - \frac{1}{z-1}
\]
重新调整级数的起始项：
\[
f(z) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(z-1)^n} - \frac{1}{z-1}
\]
合并项：
\[
f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(z-1)^{n+1}} - \frac{1}{z-1}
\]
最终答案：
\[
f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(z-1)^{n+1}} - \frac{1}{z-1}
\]
简化后：
\[
f(z) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(z-1)^n}
\]
因此，最终答案为：
\[
f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(z-1)^{n+1}}
\]
解析
本题考察罗朗级数展开，核心是通过部分分式分式分解将函数拆分为可直接展开的的简单分式，再利用几何级数展开公式进行展开。
步骤1：
-
部分分式分解
函数 $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$ 可分解为：
$f(z)=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-2}$代入 $z=1$ 和 $z=2$ 解得：
$A=-1$，$B=1$，故：
$f(z)=\frac{-1}{z-1}+\frac{1}{z-2}$
步骤2：
- 几何级数展开
在圆环域 $1<|z-1|<+\infty$ 中，$|\frac{1}{z-1}|<1$，对 $\frac{1}{z-2}$ 变形：
$\frac{1}{z-2}=\frac{1}{(z-1)-1}=\frac{1}{z-1}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z-1}}$
利用几何级数 $\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^\infty w^n$（$|w|<1$），得：
$\frac{1}{z-2}=\frac{1}{z-1}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{z-1}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(z-1)^{n+1}}$
步骤3：
- 组合展开式
将两部分分式结果代入：
$f(z)=\frac{-1}{z-1}+\sum_{n=0}^\infty\frac{1{(z-1)^{n+1}}$
调整级数起始项（令 $k=n+1$，则 $n=0\Rightarrow k=1$）：
$\sum_{n=0}^\infty\frac1{(z-1)^{n+1}}=\sum_{k=1}^\infty\frac1{(z-1)^k}$
故：
$f(z)=\frac{-1}{z-1}+\sum_{k=1}^\infty\frac1{(z-1)^k}=\sum_{k=2}^\infty\frac1{(z-1)^k}$