题目

10.在空间直角坐标系中，已知a=(1，1，1)，b=(0，3，-3)，c，满足(a×b)×c=3a，且向量c的模长为sqrt(2)，求c在空间直角坐标系中的坐标表示。

10.在空间直角坐标系中，已知a=(1，1，1)，b=(0，3，-3)，c，满足(a×b)×c=3a，且向量c的模长为$\sqrt{2}$，求c在空间直角坐标系中的坐标表示。

题目解答

答案

为了求解向量 $ \mathbf{c} $ 在空间直角坐标系中的坐标表示，我们首先需要计算向量 $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $。已知 $ \mathbf{a} = (1, 1, 1) $ 和 $ \mathbf{b} = (0, 3, -3) $，我们有： \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-3) - 1 \cdot 3) - \mathbf{j}(1 \cdot (-3) - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 3 - 1 \cdot 0) = \mathbf{i}(-3 - 3) - \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k}(3) = -6\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k} = (-6, 3, 3) \] 接下来，设 $ \mathbf{c} = (x, y, z) $。我们需要计算 $ (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} $： \[ (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -6 & 3 & 3 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3z - 3y) - \mathbf{j}(-6z - 3x) + \mathbf{k}(-6y - 3x) = (3z - 3y)\mathbf{i} + (6z + 3x)\mathbf{j} + (-6y - 3x)\mathbf{k} = (3z - 3y, 6z + 3x, -6y - 3x) \] 根据题目，我们有 $ (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = 3\mathbf{a} $。因此，我们可以写成： \[ (3z - 3y, 6z + 3x, -6y - 3x) = 3(1, 1, 1) = (3, 3, 3) \] 这给出了我们以下方程组： \[ 3z - 3y = 3 \quad \text{(1)} \] \[ 6z + 3x = 3 \quad \text{(2)} \] \[ -6y - 3x = 3 \quad \text{(3)} \] 从方程 (1) 中，我们可以解出 $ z $： \[ z - y = 1 \implies z = y + 1 \] 从方程 (2) 中，我们可以解出 $ x $： \[ 6z + 3x = 3 \implies 2z + x = 1 \implies x = 1 - 2z \] 将 $ z = y + 1 $ 代入 $ x = 1 - 2z $： \[ x = 1 - 2(y + 1) = 1 - 2y - 2 = -2y - 1 \] 现在将 $ x = -2y - 1 $ 代入方程 (3)： \[ -6y - 3(-2y - 1) = 3 \implies -6y + 6y + 3 = 3 \implies 3 = 3 \] 这个方程恒成立，因此 $ x = -2y - 1 $ 和 $ z = y + 1 $ 是有效的。我们还需要满足 $ \mathbf{c} $ 的模长为 $ \sqrt{2} $ 的条件： \[ $\mathbf{c}$ = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{2} \] 将 $ x = -2y - 1 $ 和 $ z = y + 1 $ 代入模长公式： \[ \sqrt{(-2y - 1)^2 + y^2 + (y + 1)^2} = \sqrt{2} \] \[ \sqrt{4y^2 + 4y + 1 + y^2 + y^2 + 2y + 1} = \sqrt{2} \] \[ \sqrt{6y^2 + 6y + 2} = \sqrt{2} \] \[ 6y^2 + 6y + 2 = 2 \] \[ 6y^2 + 6y = 0 \] \[ 6y(y + 1) = 0 \] 这给出了两个解： $ y = 0 $ 或 $ y = -1 $。 如果 $ y = 0 $，则 $ x = -2 \cdot 0 - 1 = -1 $ 和 $ z = 0 + 1 = 1 $。因此， $ \mathbf{c} = (-1, 0, 1) $。 如果 $ y = -1 $，则 $ x = -2 \cdot (-1) - 1 = 1 $ 和 $ z = -1 + 1 = 0 $。因此， $ \mathbf{c} = (1, -1, 0) $。 因此，向量 $ \mathbf{c} $ 在空间直角坐标系中的坐标表示为： \[ \boxed{(1, -1, 0) \text{ 或 } (-1, 0, 1)} \]

解析

考查要点：本题主要考查空间向量的叉乘运算、向量方程的解法以及向量模长的计算。
解题思路：

  1. 计算向量叉乘：首先计算 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$，得到中间结果。
  2. 建立向量方程：根据题意 $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = 3\mathbf{a}$，展开并整理分量方程。
  3. 联立方程求解：结合向量 $\mathbf{c}$ 的模长条件，建立方程组，解出 $\mathbf{c}$ 的坐标。
    关键点：
  • 叉乘的运算规则需准确应用行列式展开法。
  • 方程组的化简需注意消元与代入的技巧。
  • 模长条件的代入需结合代数运算，最终解出可能的解。

步骤1：计算 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$
根据叉乘公式：
$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \end{vmatrix} = (-6, 3, 3)$

步骤2：设 $\mathbf{c} = (x, y, z)$，计算 $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}$
展开叉乘：
$(-6, 3, 3) \times (x, y, z) = (3z - 3y, 6z + 3x, -6y - 3x)$

步骤3：根据方程 $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = 3\mathbf{a}$，建立方程组
等式右边为 $(3, 3, 3)$，得：
$\begin{cases}3z - 3y = 3 \\6z + 3x = 3 \\-6y - 3x = 3\end{cases}$

步骤4：化简方程组

  • 从第一式得 $z = y + 1$。
  • 从第二式得 $x = 1 - 2z$，代入 $z = y + 1$，得 $x = -2y - 1$。
  • 第三式代入 $x = -2y - 1$ 后恒成立，无需额外条件。

步骤5：结合模长条件 $\|\mathbf{c}\| = \sqrt{2}$
将 $x = -2y - 1$ 和 $z = y + 1$ 代入模长公式：
$(-2y - 1)^2 + y^2 + (y + 1)^2 = 2 \implies 6y^2 + 6y = 0 \implies y = 0 \text{ 或 } y = -1$

步骤6：求解 $\mathbf{c}$ 的坐标

  • 当 $y = 0$ 时，$\mathbf{c} = (-1, 0, 1)$。
  • 当 $y = -1$ 时，$\mathbf{c} = (1, -1, 0)$。