题目

二、填空题(第11~16题，每题5分，共30分)11.设g(x)是函数f(x)=(1)/(2)ln(3+x)/(3-x)的反函数，则曲线y=g(x)的渐近线方程为____.

二、填空题(第11~16题，每题5分，共30分) 11.设g(x)是函数$f(x)=\frac{1}{2}ln\frac{3+x}{3-x}$的反函数，则曲线y=g(x)的渐近线方程为____.

题目解答

答案

为了找到函数 $ f(x) = \frac{1}{2} \ln \frac{3+x}{3-x} $ 的反函数 $ g(x) $ 的渐近线方程，我们首先需要确定 $ f(x) $ 的值域，因为 $ f(x) $ 的值域将对应 $ g(x) $ 的定义域，而 $ g(x) $ 的渐近线将与 $ f(x) $ 的定义域的边界值相关。 ### 步骤1：确定 $ f(x) $ 的定义域 函数 $ f(x) = \frac{1}{2} \ln \frac{3+x}{3-x} $ 的定义域由不等式 $ \frac{3+x}{3-x} > 0 $ 确定。这个不等式可以重写为 $ (3+x)(3-x) > 0 $，即 $ 9 - x^2 > 0 $。解这个不等式，我们得到 $ -3 < x < 3 $。因此， $ f(x) $ 的定义域是 $ (-3, 3) $。 ### 步骤2：确定 $ f(x) $ 的值域 为了找到 $ f(x) $ 的值域，我们分析 $ f(x) $ 在其定义域内的行为。当 $ x $ 从 $-3$ 的右侧接近 $-3$ 时， $ \frac{3+x}{3-x} $ 从正数接近 $0$，因此 $ \ln \frac{3+x}{3-x} $ 从正数接近 $-\infty$，从而 $ f(x) $ 从正数接近 $-\infty$。当 $ x $ 从 $3$ 的左侧接近 $3$ 时， $ \frac{3+x}{3-x} $ 从正数接近 $+\infty$，因此 $ \ln \frac{3+x}{3-x} $ 从正数接近 $+\infty$，从而 $ f(x) $ 从正数接近 $+\infty$。由于 $ f(x) $ 在 $ (-3, 3) $ 内连续， $ f(x) $ 的值域是 $ (-\infty, \infty) $。 ### 步骤3：找到 $ g(x) $ 的渐近线 由于 $ g(x) $ 是 $ f(x) $ 的反函数， $ g(x) $ 的定义域是 $ f(x) $ 的值域，即 $ (-\infty, \infty) $， $ g(x) $ 的值域是 $ f(x) $ 的定义域，即 $ (-3, 3) $。这意味着当 $ x $ 接近 $ \pm \infty $ 时， $ g(x) $ 接近 $ \pm 3 $。因此， $ g(x) $ 的渐近线方程是 $ y = \pm 3 $。 ### 最终答案 曲线 $ y = g(x) $ 的渐近线方程为 $\boxed{y = \pm 3}$。

解析

考查要点：本题主要考查反函数的定义、函数的渐近线求解，以及原函数与反函数之间的关系。

解题核心思路：

  1. 确定原函数$f(x)$的定义域，这将决定反函数$g(x)$的值域。
  2. 分析原函数$f(x)$的值域，从而得到反函数$g(x)$的定义域。
  3. 结合反函数的值域边界，推导出渐近线方程。

破题关键点：

  • 原函数的定义域由分式$\frac{3+x}{3-x}$的正负性确定。
  • 原函数的值域通过分析对数函数的单调性得出。
  • 反函数的渐近线对应原函数定义域的边界值。

步骤1：确定原函数$f(x)$的定义域

函数$f(x) = \frac{1}{2} \ln \frac{3+x}{3-x}$的定义域要求$\frac{3+x}{3-x} > 0$。
解不等式：

  • 分子$3+x > 0$时，$x > -3$；分母$3-x > 0$时，$x < 3$，因此$x \in (-3, 3)$。
  • 分子$3+x < 0$且分母$3-x < 0$时无解。
    综上，原函数定义域为$(-3, 3)$。

步骤2：分析原函数$f(x)$的值域

  • 当$x \to -3^+$时，$\frac{3+x}{3-x} \to 0^+$，$\ln \frac{3+x}{3-x} \to -\infty$，故$f(x) \to -\infty$。
  • 当$x \to 3^-$时，$\frac{3+x}{3-x} \to +\infty$，$\ln \frac{3+x}{3-x} \to +\infty$，故$f(x) \to +\infty$。
  • 由于$f(x)$在$(-3, 3)$内连续，值域为$(-\infty, +\infty)$。

步骤3：确定反函数$g(x)$的渐近线

  • 反函数$g(x)$的定义域为$f(x)$的值域，即$(-\infty, +\infty)$。
  • 反函数$g(x)$的值域为$f(x)$的定义域，即$(-3, 3)$。
  • 当$x \to +\infty$时，$g(x) \to 3$；当$x \to -\infty$时，$g(x) \to -3$。
    因此，渐近线方程为$y = \pm 3$。