(2025,2)设三阶矩阵A,B满足r(AB)=r(BA)+1,则 (A)方程组(A+B)x=0只有零解. (B)方程组Ax=0与方程组Bx=0均只有零解，r(A.)=r(B.) (C.)方程组Ax=0与方程组Bx=0没有公共非零解. (D.)方程组ABAx=0与方程组BABx=0有公共非零解.

为了解决这个问题，我们需要分析给定的条件 $ r(AB) = r(BA) + 1 $ 并确定它对矩阵 $ A $ 和 $ B $ 的含义。让我们一步步进行。 ### 第一步：理解秩条件 秩条件 $ r(AB) = r(BA) + 1 $ 告诉我们矩阵 $ AB $ 的秩比矩阵 $ BA $ 的秩多1。这意味着 $ AB $ 的列空间的维数比 $ BA $ 的列空间的维数多1。 ### 第二步：分析选项 让我们分析每个选项： #### 选项 (A)：方程组 $(A+B)x=0$ 只有零解。 这个选项表明矩阵 $ A + B $ 是可逆的。然而，秩条件 $ r(AB) = r(BA) + 1 $ 并没有直接提供关于 $ A + B $ 的可逆性的信息。因此，我们不能仅基于给定条件确定这个选项是否正确。 #### 选项 (B)：方程组 $ Ax=0 $ 与方程组 $ Bx=0 $ 均只有零解，$ r(A) = r(B) $。 这个选项表明 $ A $ 和 $ B $ 都是可逆的，且它们的秩相等。如果 $ A $ 和 $ B $ 都是可逆的，那么 $ r(A) = r(B) = 3 $。然而，如果 $ A $ 和 $ B $ 都是可逆的，那么 $ AB $ 和 $ BA $ 也是可逆的，它们的秩都是3。这将与秩条件 $ r(AB) = r(BA) + 1 $ 矛盾。因此，这个选项是不正确的。 #### 选项 (C)：方程组 $ Ax=0 $ 与方程组 $ Bx=0 $ 没有公共非零解。 这个选项表明 $ A $ 和 $ B $ 的零空间的交集是平凡的，即它们除了零向量外没有共同的解。让我们考虑 $ A $ 和 $ B $ 的可能秩。由于 $ r(AB) \leq \min(r(A), r(B)) $ 和 $ r(BA) \leq \min(r(B), r(A)) $，秩条件 $ r(AB) = r(BA) + 1 $ 意味着 $ r(AB) $ 和 $ r(BA) $ 不能同时达到 $ \min(r(A), r(B)) $。这意味着 $ A $ 或 $ B $ 中至少有一个是奇异的（即，不可逆的）。 如果 $ A $ 和 $ B $ 都是奇异的，它们的零空间都是非平凡的。然而，秩条件并不直接意味着它们的零空间的交集是平凡的。为了确定这一点，我们需要考虑 $ AB $ 和 $ BA $ 的性质。 由于 $ r(AB) = r(BA) + 1 $， $ AB $ 的秩比 $ BA $ 的秩多1。这意味着 $ AB $ 的零空间的维数比 $ BA $ 的零空间的维数少1。如果 $ A $ 和 $ B $ 的零空间有非零交集，那么 $ AB $ 和 $ BA $ 的零空间将有非零交集，这将与秩条件相矛盾。因此， $ A $ 和 $ B $ 的零空间没有公共非零解。这个选项是正确的。 #### 选项 (D)：方程组 $ ABAx=0 $ 与方程组 $ BABx=0 $ 有公共非零解。 这个选项表明 $ ABA $ 和 $ BAB $ 的零空间有非零交集。让我们考虑 $ ABA $ 和 $ BAB $ 的秩。由于 $ r(ABA) \leq r(AB) $ 和 $ r(BAB) \leq r(BA) $，秩条件 $ r(AB) = r(BA) + 1 $ 意味着 $ r(ABA) \geq r(BAB) $。然而，这并不直接意味着 $ ABA $ 和 $ BAB $ 的零空间有非零交集。因此，我们不能仅基于给定条件确定这个选项是否正确。 ### 结论 正确的选项是 $\boxed{\text{C}}$。