题目
3.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类.如果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续：(1)y=(x^2-1)/(x^2)-3x+2,x=1,x=2; (2)y=(x)/(tanx),x=kpi,x=kpi+(pi)/(2)(k=0,pm 1,pm 2,...);(3)y=cos^2(1)/(x),x=0; (4)y=}x-1,xleqslant 1,3-x,x>1,x=1.
3.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类.如果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续：
(1)$y=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-3x+2},x=1,x=2$; (2)$y=\frac{x}{tanx},x=k\pi,x=k\pi+\frac{\pi}{2}(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots)$;
(3)$y=\cos^{2}\frac{1}{x},x=0$; (4)$y=\begin{cases}x-1,x\leqslant 1,\\3-x,x>1,\end{cases}x=1.$
题目解答
答案
1. **$ y = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2} $**
- **$ x = 1 $**：可去间断点（定义 $ f(1) = -2 $）
- **$ x = 2 $**：第二类间断点（无穷间断点）
2. **$ y = \frac{x}{\tan x} $**
- **$ x = k\pi $（$ k \neq 0 $）**：第二类间断点（无穷间断点）
- **$ x = k\pi + \frac{\pi}{2} $（$ k \in \mathbb{Z} $）**：可去间断点（定义 $ f(x) = 0 $）
- **$ x = 0 $**：可去间断点（定义 $ f(0) = 1 $）
3. **$ y = \cos^2 \frac{1}{x} $**
- **$ x = 0 $**：第二类间断点
4. **分段函数**
- **$ x = 1 $**：第一类间断点（跳跃间断点）
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
1. & x=1 \text{（可去）}, x=2 \text{（第二类）} \\
2. & x=k\pi \text{（第二类）}, x=k\pi + \frac{\pi}{2} \text{（可去）}, x=0 \text{（可去）} \\
3. & x=0 \text{（第二类）} \\
4. & x=1 \text{（第一类）} \\
\end{array}
}
\]