把长度为a的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率?

考查要点：本题主要考查几何概率模型的应用，以及三角形构成条件的理解。
解题核心思路：将折断木棒的位置转化为二维平面上的点，利用几何区域面积比计算概率。
破题关键点：

1. 三角形构成条件：三段中任意一段必须小于总长度的一半（即$a/2$）。
2. 几何模型建立：通过变量$x$和$y$表示两段长度，约束条件转化为区域面积问题。
3. 区域面积计算：确定满足条件的区域形状，计算其面积与样本空间面积的比值。

步骤1：建立几何模型

设木棒折成三段的长度分别为$x$、$y$、$a-x-y$，则$x \geq 0$，$y \geq 0$，$x + y \leq a$。所有可能的$(x, y)$构成的区域为直角三角形$D$，顶点在$(0,0)$、$(a,0)$、$(0,a)$，面积为$\frac{a^2}{2}$。

步骤2：确定三角形构成条件

三段能构成三角形需满足：
$\begin{cases}x < \dfrac{a}{2}, \\y < \dfrac{a}{2}, \\a - x - y < \dfrac{a}{2}.\end{cases}$
第三个不等式等价于$x + y > \dfrac{a}{2}$。

步骤3：确定有效区域

满足条件的区域为$D$内同时满足：

1. $x < \dfrac{a}{2}$，$y < \dfrac{a}{2}$（形成边长为$\dfrac{a}{2}$的正方形）；
2. $x + y > \dfrac{a}{2}$（正方形内位于直线$x + y = \dfrac{a}{2}$上方的部分）。

该区域为等腰直角三角形，直角边长为$\dfrac{a}{2}$，面积为$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^2}{8}$。

步骤4：计算概率

概率为有效区域面积与样本空间面积的比值：
$P = \dfrac{\dfrac{a^2}{8}}{\dfrac{a^2}{2}} = \dfrac{1}{4}.$