题目
将积分(x,y,z)dv化为柱面坐标系下的三次积分,其中(x,y,z)dv是曲面(x,y,z)dv及(x,y,z)dv所围成的区域.
将积分
化为柱面坐标系下的三次积分,其中
是曲面
化为柱面坐标系下的三次积分,其中是曲面
及
所围成的区域.题目解答
答案
解: 
(3分)
(3分)
(6分)解析
步骤 1：确定积分区域
首先，我们需要确定积分区域Ω。该区域由两个曲面$z=2-({x}^{2}+{y}^{2})$和$z=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$所围成。这两个曲面在空间中相交，形成一个封闭的区域。为了确定这个区域，我们需要找到这两个曲面的交点。将两个曲面的方程设置为相等，得到$2-({x}^{2}+{y}^{2})=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$。解这个方程，可以得到$x^2+y^2=1$，即一个半径为1的圆。因此，积分区域Ω在xy平面上的投影是一个半径为1的圆。
步骤 2：转换到柱面坐标系
在柱面坐标系中，$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，$z=z$，其中$r$是圆的半径，$\theta$是角度，$z$是高度。因此，积分区域Ω在柱面坐标系中的表示为$0\leqslant r\leqslant 1$，$0\leqslant \theta \leqslant 2\pi$，$r\leqslant z\leqslant 2-{r}^{2}$。
步骤 3：将积分转换为柱面坐标系下的三次积分
在柱面坐标系下，体积元素$dv$可以表示为$rdrd\theta dz$。因此，原积分$f(x,y,z)dv$可以转换为$f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)rdrd\theta dz$。根据步骤2中确定的积分区域，我们可以写出积分的上下限，得到$f(x,y,z)dv Ω={\int }_{0}^{2\pi }d\theta {\int }_{0}^{1}rdr{\int }_{r}^{2-r}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)dz$。
首先，我们需要确定积分区域Ω。该区域由两个曲面$z=2-({x}^{2}+{y}^{2})$和$z=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$所围成。这两个曲面在空间中相交，形成一个封闭的区域。为了确定这个区域，我们需要找到这两个曲面的交点。将两个曲面的方程设置为相等，得到$2-({x}^{2}+{y}^{2})=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$。解这个方程，可以得到$x^2+y^2=1$，即一个半径为1的圆。因此，积分区域Ω在xy平面上的投影是一个半径为1的圆。
步骤 2：转换到柱面坐标系
在柱面坐标系中，$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，$z=z$，其中$r$是圆的半径，$\theta$是角度，$z$是高度。因此，积分区域Ω在柱面坐标系中的表示为$0\leqslant r\leqslant 1$，$0\leqslant \theta \leqslant 2\pi$，$r\leqslant z\leqslant 2-{r}^{2}$。
步骤 3：将积分转换为柱面坐标系下的三次积分
在柱面坐标系下，体积元素$dv$可以表示为$rdrd\theta dz$。因此，原积分$f(x,y,z)dv$可以转换为$f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)rdrd\theta dz$。根据步骤2中确定的积分区域，我们可以写出积分的上下限，得到$f(x,y,z)dv Ω={\int }_{0}^{2\pi }d\theta {\int }_{0}^{1}rdr{\int }_{r}^{2-r}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)dz$。