求下列函数的二阶导数:-|||-(12) =ln (x+sqrt (1+{x)^2}).

考查要点：本题主要考查复合函数的导数计算，特别是自然对数函数与根式复合后的求导，以及二阶导数的求解方法。
解题核心思路：

1. 链式法则：对复合函数逐层求导，注意内外层函数的导数相乘。
2. 化简技巧：在一阶导数阶段通过代数变形简化表达式，为后续求二阶导数创造条件。
3. 商的导数法则：在求二阶导数时，可能需要处理分式形式的导数。

破题关键点：

• 识别函数结构：外层是自然对数函数，内层是$x + \sqrt{1+x^2}$。
• 化简一阶导数：利用分子分母的对称性，将一阶导数化简为更简洁的形式，避免复杂计算。

第（12）题

求一阶导数$y'$

设$y = \ln(x + \sqrt{1+x^2})$，根据链式法则：
$y' = \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot \left(1 + \frac{d}{dx}\sqrt{1+x^2}\right)$
计算$\frac{d}{dx}\sqrt{1+x^2}$：
$\frac{d}{dx}\sqrt{1+x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
代入原式：
$y' = \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \left(1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$

化简表达式：
分子通分：
$1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}}$
分母为$x + \sqrt{1+x^2}$，与分子约分：
$y' = \frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2} \cdot (x + \sqrt{1+x^2})} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

求二阶导数$y''$

对$y' = (1+x^2)^{-1/2}$应用链式法则：
$y'' = -\frac{1}{2}(1+x^2)^{-3/2} \cdot 2x = -\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}$