题目
找出下述线性规划问题的所有基解、基可行解，并确定最优解。max Z=2x_(1)+x_(2)-x_(3)s.t.}x_(1)+x_(2)+2x_(3)+x_(4)=6x_(1)+4x_(2)-x_(3)+x_(5)=4x_(1),x_(2),x_(3),x_(4),x_(5)geqslant 0
找出下述线性规划问题的所有基解、基可行解，并确定最优解。
$\max Z=2x_{1}+x_{2}-x_{3}$
$s.t.\begin{cases}x_{1}+x_{2}+2x_{3}+x_{4}=6\\x_{1}+4x_{2}-x_{3}+x_{5}=4\\x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\geqslant 0\end{cases}$
题目解答
答案
### 问题解析
给定的线性规划问题是一个标准形式的线性规划问题，其中目标函数是最大化 $Z = 2x_1 + x_2 - x_3$，约束条件为两个等式和五个非负变量。为了找到所有基解、基可行解，并确定最优解，我们首先需要理解基解和基可行解的定义。
- **基解**：当线性规划问题的约束方程组有 $m$ 个等式和 $n$ 个变量 ($n > m$) 时，选择 $m$ 个变量作为基变量，其余 $n-m$ 个变量为非基变量，并将非基变量设为0，解出基变量的值，这样的解称为基解。
- **基可行解**：如果一个基解满足所有变量非负的条件，即 $x_i \geq 0$，则该基解称为基可行解。
### 解题步骤
1. **确定基变量和非基变量**：从5个变量中选择2个作为基变量，剩下的3个作为非基变量。因为有2个等式约束，所以基变量的个数为2。
2. **求解基解**：将非基变量设为0，解出基变量的值。
3. **检查基解是否为基可行解**：检查基解中所有变量是否非负。
4. **计算目标函数值**：对于每个基可行解，计算目标函数 $Z$ 的值，确定最优解。
### 求解过程
#### 1. 选择基变量
从 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ 中选择2个变量作为基变量，有以下组合：
- $x_1, x_2$
- $x_1, x_3$
- $x_1, x_4$
- $x_1, x_5$
- $x_2, x_3$
- $x_2, x_4$
- $x_2, x_5$
- $x_3, x_4$
- $x_3, x_5$
- $x_4, x_5$
#### 2. 求解基解
对于每种组合，将非基变量设为0，解出基变量的值。
1. **基变量 $x_1, x_2$**：
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 + 2 \cdot 0 + 0 = 6 \\
x_1 + 4x_2 - 0 + 0 = 4
\end{cases}
\]
解得：
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 = 6 \\
x_1 + 4x_2 = 4
\end{cases}
\]
无解（因为两个方程不一致）。
2. **基变量 $x_1, x_3$**：
\[
\begin{cases}
x_1 + 0 + 2x_3 + 0 = 6 \\
x_1 + 0 - x_3 + 0 = 4
\end{cases}
\]
解得：
\[
\begin{cases}
x_1 + 2x_3 = 6 \\
x_1 - x_3 = 4
\end{cases}
\]
解得 $x_1 = \frac{14}{3}$, $x_3 = \frac{2}{3}$。
3. **基变量 $x_1, x_4$**：
\[
\begin{cases}
x_1 + 0 + 2 \cdot 0 + x_4 = 6 \\
x_1 + 0 - 0 + 0 = 4
\end{cases}
\]
解得：
\[
\begin{cases}
x_1 + x_4 = 6 \\
x_1 = 4
\end{cases}
\]
解得 $x_1 = 4$, $x_4 = 2$。
4. **基变量 $x_1, x_5$**：
\[
\begin{cases}
x_1 + 0 + 2 \cdot 0 + 0 = 6 \\
x_1 + 0 - 0 + x_5 = 4
\end{cases}
\]
解得：
\[
\begin{cases}
x_1 = 6 \\
x_1 + x_5 = 4
\end{cases}
\]
无解（因为 $x_1 = 6$ 与 $x_1 + x_5 = 4$ 矛盾）。
5. **基变量 $x_2, x_3$**：
\[
\begin{cases}
0 + x_2 + 2x_3 + 0 = 6 \\
0 + 4x_2 - x_3 + 0 = 4
\end{cases}
\]
解得：
\[
\begin{cases}
x_2 + 2x_3 = 6 \\
4x_2 - x_3 = 4
\end{cases}
\]
解得 $x_2 = 2$, $x_3 = 2$。
6. **基变量 $x_2, x_4$**：
\[
\begin{cases}
0 + x_2 + 2 \cdot 0 + x_4 = 6 \\
0 + 4x_2 - 0 + 0 = 4
\end{cases}
\]
解得：
\[
\begin{cases}
x_2 + x_4 = 6 \\
4x_2 = 4
\end{cases}
\]
解得 $x_2 = 1$, $x_4 = 5$。
7. **基变量 $x_2, x_5$**：
\[
\begin{cases}
0 + x_2 + 2 \cdot 0 + 0 = 6 \\
0 + 4x_2 - 0 + x_5 = 4
\end{cases}
\]
解得：
\[
\begin{cases}
x_2 = 6 \\
4x_2 + x_5 = 4
\end{cases}
\]
无解（因为 $x_2 = 6$ 与 $4x_2 + x_5 = 4$ 矛盾）。
8. **基变量 $x_3, x_4$**：
\[
\begin{cases}
0 + 0 + 2x_3 + x_4 = 6 \\
0 + 0 - x_3 + 0 = 4
\end{cases}
\]
解得：
\[
\begin{cases}
2x_3 + x_4 = 6 \\
-x_3 = 4
\end{cases}
\]
无解（因为 $x_3 = -4$ 不满足非负条件）。
9. **基变量 $x_3, x_5$**：
\[
\begin{cases}
0 + 0 + 2x_3 + 0 = 6 \\
0 + 0 - x_3 + x_5 = 4
\end{cases}
\]
解得：
\[
\begin{cases}
2x_3 = 6 \\
-x_3 + x_5 = 4
\end{cases}
\]
解得 $x_3 = 3$, $x_5 = 7$。
10. **基变量 $x_4, x_5$**：
\[
\begin{cases}
0 + 0 + 2 \cdot 0 + x_4 = 6 \\
0 + 0 - 0 + x_5 = 4
\end{cases}
\]
解得：
\[
\begin{cases}
x_4 = 6 \\
x_5 = 4
\end{cases}
\]
#### 3. 检查基解是否为基可行解
- $x_1 = \frac{14}{3}$, $x_3 = \frac{2}{3}$：基可行解。
- $x_1 = 4$, $x_4 = 2$：基可行解。
- $x_2 = 2$, $x_3 = 2$：基可行解。
- $x_2 = 1$, $x_4 = 5$：基可行解。
- $x