设f(x)对任意实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(x)在x=0连续,证明:f(x)在R上连续.

考查要点：本题主要考查加性函数（Cauchy函数）的连续性性质，以及如何利用已知的局部连续性推导全局连续性。

解题核心思路：

1. 利用加性函数的性质：由$f(x+y)=f(x)+f(y)$可推出$f(0)=0$，并进一步得到$f$的线性结构（在连续条件下）。
2. 局部连续性推广到全局：已知$f$在$x=0$处连续，通过变量替换和极限运算，证明$f$在任意点$x_0$处连续。

破题关键点：

• 关键结论：加性函数若在某一点连续，则在全体实数上连续。
• 关键方法：通过变量替换$h = x - x_0$，将任意点$x_0$的连续性问题转化为$x=0$处的连续性问题。

步骤1：确定$f(0)$的值
由$f(x+y)=f(x)+f(y)$，令$x=y=0$，得：
$f(0+0)=f(0)+f(0) \implies f(0)=2f(0) \implies f(0)=0.$

步骤2：利用$x=0$处的连续性
已知$f$在$x=0$处连续，故：
$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0.$

步骤3：证明任意点$x_0$处的连续性
任取$x_0 \in \mathbb{R}$，考虑$x \to x_0$时的极限。令$x = x_0 + h$，当$h \to 0$时，$x \to x_0$。根据加性函数性质：
$f(x) = f(x_0 + h) = f(x_0) + f(h).$
当$h \to 0$时，$f(h) \to f(0) = 0$（由步骤2），因此：
$\lim_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0) + 0 = f(x_0).$
这表明$f$在$x_0$处连续。

结论：$f(x)$在$\mathbb{R}$上连续。