19.记Sn为数列(an )的前n项和.已知 () dfrac (2{S)_(n)}(n)+n=2(a)_(n)+1.-|||-(1)证明:(an )是等差数列;-|||-(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.

考查要点：本题主要考查数列的通项与前n项和的关系，等差数列的证明，以及二次函数最值的应用。

解题思路：

1. 第一问：通过已知条件将方程转化为关于$S_n$和$a_n$的关系式，利用$S_n$与$a_n$的递推关系，推导出$a_{n} - a_{n-1}$为常数，从而证明等差数列。
2. 第二问：利用等差数列的通项公式，结合$a_4, a_7, a_9$成等比数列的条件，求出首项，进而得到前n项和的表达式，通过二次函数求最小值。

破题关键：

• 第一问的关键是通过方程变形，消去$S_n$，得到$a_n$与$a_{n-1}$的递推关系。
• 第二问需注意等差数列的公差已知，通过等比中项条件求出首项后，前n项和为二次函数，需讨论整数点的最值。

第（1）题

方程变形

由题意，$\dfrac{2S_n}{n} + n = 2a_n + 1$，两边乘以$n$得：
$2S_n + n^2 = 2n a_n + n.$

联立$n$与$n-1$的方程

将$n$替换为$n-1$，得：
$2S_{n-1} + (n-1)^2 = 2(n-1)a_{n-1} + (n-1).$

消去$S_n$

利用$S_n = S_{n-1} + a_n$，代入原方程并整理得：
$(n-1)(a_n - a_{n-1}) = n - 1.$
当$n \neq 1$时，化简得：
$a_n - a_{n-1} = 1.$
因此，$\{a_n\}$是公差为$1$的等差数列。

第（2）题

设等差数列通项

设首项为$a_1$，则$a_n = a_1 + (n-1) \cdot 1 = a_1 + n - 1$。

等比条件

由$a_4, a_7, a_9$成等比数列，有：
$(a_7)^2 = a_4 \cdot a_9.$
代入通项公式：
$(a_1 + 6)^2 = (a_1 + 3)(a_1 + 8).$
解得$a_1 = -12$。

前n项和

前n项和为：
$S_n = \dfrac{n}{2} \left[2a_1 + (n-1)\right] = \dfrac{n(n - 25)}{2}.$

求最小值

$S_n$为开口向上的二次函数，顶点在$n = \dfrac{25}{2} = 12.5$。取整数$n=12$和$n=13$，计算得：
$S_{12} = S_{13} = -78.$