题目

14 单选 (4分) 若对任意方阵B和C，由AB=AC能推出B=C(A、B和C为同阶方阵)，则A满足 bigcircA. |A|≠0 bigcircB. A≠O bigcircC. A=O bigcircD. |AB|≠0

14 单选 (4分) 若对任意方阵B和C，由AB=AC能推出B=C(A、B和C为同阶方阵)，则A满足 $\bigcirc$
A. |A|≠0 $\bigcirc$
B. A≠O $\bigcirc$
C. A=O $\bigcirc$
D. |AB|≠0

题目解答

答案

由题意，对于任意方阵 $B$ 和 $C$，若 $AB = AC$ 能推出 $B = C$，则 $A$ 必须满足一定条件。 将等式 $AB = AC$ 变形为 $A(B - C) = 0$。要使 $B = C$（即 $B - C = 0$）恒成立，矩阵 $A$ 必须可逆。 矩阵可逆的充要条件是其行列式非零，即 $|A| \neq 0$。 选项分析： - **A. $|A| \neq 0$**：满足条件，正确。 - **B. $A \neq O$**：仅保证 $A$ 非零，但可能 $|A| = 0$，不充分。 - **C. $A = O$**：显然不满足条件，错误。 - **D. $|AB| \neq 0$**：需 $|A| \neq 0$ 且 $|B| \neq 0$，条件过强，不必要。 答案：$\boxed{A}$

解析

本题考查方阵方阵可逆的性质以及行列式的相关知识知识。解题的关键思路是根据已知条件$AB = AC$推出$(A、B和C为同阶方阵)$能推出$B = C$，通过对等式进行变形，，结合矩阵可逆矩阵的性质来确定矩阵$A$需要满足的条件。

  1. 首先对等式$AB = AC$进行变形：
    • 由$AB = AC$，根据矩阵的运算法则，可将其变形为$AB-AC = AC - AC=0$，进一步得到$A(B - C) = 0$。
  2. 然后分析要使$B = C$恒成立时$A$的性质：
    • 要使$B = C$（即$B - C = 0$恒成立，意味着对于任意的矩阵$B - C$，当$A(B - C) = 0$时，都有$B - C = 0$。这就要求矩阵$A$是可逆矩阵。
    • 根据可逆矩阵的性质，一个方阵$A$可逆的充要条件是其行列式$\vert A\vert A\vert\neq 0$。
  3. 接着对各个选项进行分析：
    • 选项A：$\(A$：$\vert A\vert\neq 0$)，因为矩阵可逆的充要条件是行列式非零，所以当$\vert A\vert\neq 0$时，$A$可逆，在$A(B - C) = 0$两边同时左乘$A^{-1}$，可得$A^{-1}A(B - C)=A^{-1}0\times0$，根据逆矩阵的性质$A^{-1}A = E$（单位矩阵），则$E(B - C)=0$，即$B - C = 0$，也就是$B = C$，所以该选项满足条件满足，是正确的。
    • 选项B：($B$：$A\neq O$)，仅知道$A$非零矩阵，并不能保证$A$可逆，有可能$\vert A\vert = 0$，此时就无法从$A(B - C) = 0$推出$B - C = 0$，所以该选项不充分，不充分。
    • 选项C：($C$：$A = O$)，若$A = O$零矩阵，那么对于任意的$B$和$C$，都有$AB = AC = 0$，但此时$B$不一定等于$C$，显然不满足题目条件，所以该选项错误。
    • 选项D：($D$：$\vert AB\vert\neq 0$)，根据行列式的性质$\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert$，$\vert AB\vert\neq 0$意味着$\vert A\vert\neq 0$且$\vert B\vert\neq 0$，而题目只要求对于任意的$B$和$C$，由$AB = AC$能推出$B = C$，并不需要$\vert B\vert B\vert\neq 0$，所以该选项条件过强，不必要。