[例5]设f(x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0 (1)=1, 试证对任意-|||-给定的正数a,b,在(0,1)内一定存在互不相同的ξ,7使-|||-dfrac (a)(f'(xi ))+dfrac (b)(f'(n))=a+b.

考查要点：本题主要考查拉格朗日中值定理和介值定理的综合应用，需要学生具备将复杂条件转化为中间变量并构造方程的能力。

解题核心思路：

1. 分区间策略：将原区间$[0,1]$分为两个子区间$[0,c]$和$[c,1]$，通过调整分点$c$的位置，分别在两个子区间上应用拉格朗日中值定理。
2. 构造方程：将题目目标式$\dfrac{a}{f'(\xi)} + \dfrac{b}{f'(\eta)} = a + b$转化为关于$f(c)$的方程，利用介值定理证明存在满足条件的$c$。
3. 存在性证明：通过$f(c)$的连续性和端点值，确保分点$c$的存在性，最终得到$\xi$和$\eta$的存在性。

破题关键点：

• 分点$c$的选取：通过构造方程发现，当$f(c) = \dfrac{a}{a+b}$时，原式成立。
• 介值定理的应用：利用$f(x)$在$[0,1]$上的连续性和端点值，保证存在$c$使得$f(c) = \dfrac{a}{a+b}$。

步骤1：确定分点$c$的位置

由介值定理，由于$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=0 < \dfrac{a}{a+b} < 1 = f(1)$，因此存在唯一的$c \in (0,1)$，使得
$f(c) = \dfrac{a}{a+b}.$

步骤2：在子区间$[0,c]$和$[c,1]$上应用拉格朗日中值定理

1. 在$[0,c]$上：存在$\xi \in (0,c)$，使得
   $f'(ξ) = \dfrac{f(c) - f(0)}{c - 0} = \dfrac{f(c)}{c} = \dfrac{a}{(a+b)c}.$
2. 在$[c,1]$上：存在$\eta \in (c,1)$，使得
   $f'(η) = \dfrac{f(1) - f(c)}{1 - c} = \dfrac{1 - f(c)}{1 - c} = \dfrac{b}{(a+b)(1 - c)}.$

步骤3：代入原式验证

将$f'(ξ)$和$f'(η)$代入目标式：
$\begin{aligned}\dfrac{a}{f'(ξ)} + \dfrac{b}{f'(η)} &= \dfrac{a}{\dfrac{a}{(a+b)c}} + \dfrac{b}{\dfrac{b}{(a+b)(1 - c)}} \\&= (a+b)c + (a+b)(1 - c) \\&= a + b.\end{aligned}$
因此，原式成立。

步骤4：保证$\xi \neq \eta$

由于$\xi \in (0,c)$且$\eta \in (c,1)$，显然$\xi \neq \eta$，且两者均属于$(0,1)$。