题目
二、多选题（共10题，20.0分） 题型说明：多选题 31.（多选题，2.0分） 下列极限可用洛必达法则求解的有（） A. lim_(xtoinfty)x^2/e^x B. lim_(xto0)sin x/x C. lim_(xto1)(x-1)/(lnx) D. lim_(xto0)(1-cos x)/x^2
二、多选题（共10题，20.0分） 题型说明：多选题 31.（多选题，2.0分） 下列极限可用洛必达法则求解的有（）
A. $\lim_{x\to\infty}x^{2}/e^{x}$
B. $\lim_{x\to0}\sin x/x$
C. $\lim_{x\to1}(x-1)/(lnx)$
D. $\lim_{x\to0}(1-\cos x)/x^{2}$
A. $\lim_{x\to\infty}x^{2}/e^{x}$
B. $\lim_{x\to0}\sin x/x$
C. $\lim_{x\to1}(x-1)/(lnx)$
D. $\lim_{x\to0}(1-\cos x)/x^{2}$
题目解答
答案
**答案：A, B, C, D**
**解析：**
- **选项A：** $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$
当 $x \to \infty$ 时，分子分母均趋于无穷，为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，可用洛必达法则。
- **选项B：** $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$
当 $x \to 0$ 时，分子分母均趋于0，为 $\frac{0}{0}$ 型，可用洛必达法则。
- **选项C：** $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\ln x}$
当 $x \to 1$ 时，分子分母均趋于0，为 $\frac{0}{0}$ 型，可用洛必达法则。
- **选项D：** $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$
当 $x \to 0$ 时，分子分母均趋于0，为 $\frac{0}{0}$ 型，可用洛必达法则。
**答案：A, B, C, D**
解析
洛必达法则适用于求解$\frac{0}{0}$型和$\frac{\infty}{\infty}$型的极限。判断每个选项是否满足以下条件：
- 分子和分母同时趋于0或同时趋于无穷大；
- 在趋近点的邻域内，分子分母均可导且分母导数不为零。
选项A
$\lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{e^x}$
- 形式：当$x \to \infty$时，分子$x^2 \to \infty$，分母$e^x \to \infty$，属于$\frac{\infty}{\infty}$型。
- 结论：可用洛必达法则。
选项B
$\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}$
- 形式：当$x \to 0$时，$\sin x \to 0$，分母$x \to 0$，属于$\frac{0}{0}$型。
- 结论：可用洛必达法则。
选项C
$\lim_{x\to1} \frac{x-1}{\ln x}$
- 形式：当$x \to 1$时，分子$x-1 \to 0$，分母$\ln 1 = 0$，属于$\frac{0}{0}$型。
- 结论：可用洛必达法则。
选项D
$\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x}{x^2}$
- 形式：当$x \to 0$时，$1-\cos x \to 0$，分母$x^2 \to 0$，属于$\frac{0}{0}$型。
- 结论：可用洛必达法则。