题目
验证下列P(x, y)dx+Q(x, y)dy在整个xOy平面内是某一函数 u(x, y)的全微分, 并求这样的一个u(x, y): (1)(x+2y)dx+(2x+y)dy; (2)2xydx+x2dy ; (3)4sin xsin3y cosxdx–3cos3y cos2xdy (4)(3(x)^2y+8x(y)^2)dx+((x)^3+8(x)^2y+12y(e)^3)dy yey)dy (5)(3(x)^2y+8x(y)^2)dx+((x)^3+8(x)^2y+12y(e)^3)dy yey)dy
验证下列P(x, y)dx+Q(x, y)dy在整个xOy平面内是某一函数
u(x, y)的全微分, 并求这样的一个u(x, y):
(1)(x+2y)dx+(2x+y)dy;
(2)2xydx+x2dy ;
(3)4sin xsin3y cosxdx–3cos3y cos2xdy
(4)
(5)
题目解答
答案
证明(1) 因为
, 所以P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某个定义在整
个xOy面内的函数u(x, y )的全微分.
.
(2) 因为
, 所以P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某个定义在整个
xOy面内的函数u(x, y)的全微分.
.
(3) 因为
, 所以P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某个
定义在整个xOy平面内的函数u(x, y)的全微分.
.
(4) 因为
, 所以P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某个定
义在整个xOy平面内的函数u(x, y)的全微分.
.
(5) 因为
, 所以P(x, y)dx+Q(x, y)dy是
某个函数u(x, y)的全微分
.
解析
步骤 1：验证全微分条件
对于给定的微分形式P(x, y)dx+Q(x, y)dy，要验证它是否为某一函数u(x, y)的全微分，需要验证$\dfrac {\partial Q}{\partial x}=\dfrac {\partial P}{\partial y}$。如果这个条件成立，那么P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某个函数u(x, y)的全微分。
步骤 2：计算u(x, y)
如果P(x, y)dx+Q(x, y)dy是全微分，那么可以计算u(x, y)。计算方法是先对P(x, y)关于x积分，再对Q(x, y)关于y积分，然后合并结果，注意合并时要保证不重复计算。
步骤 3：验证计算结果
计算出u(x, y)后，需要验证$\dfrac {\partial u}{\partial x}=P(x, y)$和$\dfrac {\partial u}{\partial y}=Q(x, y)$，以确保计算的u(x, y)是正确的。
对于给定的微分形式P(x, y)dx+Q(x, y)dy，要验证它是否为某一函数u(x, y)的全微分，需要验证$\dfrac {\partial Q}{\partial x}=\dfrac {\partial P}{\partial y}$。如果这个条件成立，那么P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某个函数u(x, y)的全微分。
步骤 2：计算u(x, y)
如果P(x, y)dx+Q(x, y)dy是全微分，那么可以计算u(x, y)。计算方法是先对P(x, y)关于x积分，再对Q(x, y)关于y积分，然后合并结果，注意合并时要保证不重复计算。
步骤 3：验证计算结果
计算出u(x, y)后，需要验证$\dfrac {\partial u}{\partial x}=P(x, y)$和$\dfrac {\partial u}{\partial y}=Q(x, y)$，以确保计算的u(x, y)是正确的。