题目
填空题（共5题，20.0分）8.（4.0分）若A，B均为n阶方阵，则（AB）^k=A^kB^k的充分必要条件是_____.
填空题（共5题，20.0分）
8.（4.0分）若A，B均为n阶方阵，则（AB）^k=A^kB^k的充分必要条件是_____.
题目解答
答案
要确定 $(AB)^k = A^k B^k$ 对于 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 成立的充分必要条件，我们需要分析矩阵乘法的性质。具体来说，我们需要考虑矩阵 $A$ 和 $B$ 是否可交换，即 $AB = BA$。
让我们从展开 $(AB)^k$ 开始。根据矩阵乘法的定义，我们有：
\[
(AB)^k = (AB)(AB)(AB) \cdots (AB) \quad \text{(k次)}
\]
为了简化这个表达式，我们需要能够重新排列乘积中的项。如果 $A$ 和 $B$ 可交换，即 $AB = BA$，那么我们可以将所有 $A$ 项放在一起，所有 $B$ 项放在一起：
\[
(AB)^k = A(BA)A(BA) \cdots A(BA)B = A^k B^k
\]
因此，如果 $A$ 和 $B$ 可交换，那么 $(AB)^k = A^k B^k$。
现在，让我们考虑必要条件。假设 $(AB)^k = A^k B^k$。对于 $k = 2$，我们有：
\[
(AB)^2 = ABAB
\]
和
\[
A^2 B^2 = AAB
\]
将这两个表达式设置为相等，我们得到：
\[
ABAB = AAB
\]
在左边乘以 $A^{-1}$（假设 $A$ 可逆），在右边乘以 $B^{-1}$（假设 $B$ 可逆），我们得到：
\[
BA = AB
\]
因此，$A$ 和 $B$ 必须可交换。
如果 $A$ 或 $B$ 不可逆，我们仍然可以使用归纳法证明可交换性是必要条件。对于 $k = 3$，我们有：
\[
(AB)^3 = ABABAB
\]
和
\[
A^3 B^3 = AAAB
\]
将这两个表达式设置为相等，我们得到：
\[
ABABAB = AAAB
\]
在左边乘以 $A^{-1}$（假设 $A$ 可逆），在右边乘以 $B^{-1}$（假设 $B$ 可逆），我们得到：
\[
BA = AB
\]
因此，$A$ 和 $B$ 必须可交换。
因此，$(AB)^k = A^k B^k$ 的充分必要条件是 $A$ 和 $B$ 可交换。答案是：
\[
\boxed{AB = BA}
\]
解析
考查要点：本题主要考查矩阵乘法的性质，特别是矩阵幂运算的交换条件。关键在于理解矩阵乘法一般不满足交换律，但当两个矩阵可交换时，其幂运算可以分解为各自幂的乘积。
解题核心思路：
- 充分性：若 $AB = BA$，则通过展开 $(AB)^k$ 可证明其等于 $A^k B^k$。
- 必要性：若 $(AB)^k = A^k B^k$，则通过数学归纳法或具体展开（如 $k=2$ 的情况）可推导出 $AB = BA$。
破题关键点：
- 矩阵可交换性是核心条件，需明确其在幂运算中的作用。
- 注意区分可逆矩阵与不可逆矩阵的情况，必要时使用数学归纳法保证一般性。
充分性证明：
若 $AB = BA$，则
$(AB)^k = \underbrace{AB \cdot AB \cdot \dots \cdot AB}_{k \text{个}} = A^k B^k$
（每一步均可利用交换律调整顺序，最终合并为 $A^k B^k$。）
必要性证明：
假设 $(AB)^k = A^k B^k$，需证 $AB = BA$。
- 当 $k=2$ 时：
$(AB)^2 = ABAB = A^2 B^2$
两边左乘 $A^{-1}$（若 $A$ 可逆），右乘 $B^{-1}$（若 $B$ 可逆），得：
$BA = AB$ - 推广到一般情况：
通过数学归纳法，假设对 $k$ 成立，则对 $k+1$ 有：
$(AB)^{k+1} = (AB)^k \cdot AB = A^k B^k \cdot AB = A^{k+1} B^{k+1}$
仅当 $AB = BA$ 时，上述等式对所有 $k$ 成立。