函数 (x)=dfrac (cos (x-2))(1+{x)^2} 在 (-infty ,+infty ) ()-|||-A 周期函数-|||-B 有界函数-|||-C 奇函数-|||-D 偶函数 1.单边题

考查要点：本题主要考查函数的基本性质，包括周期性、有界性、奇偶性。
解题思路：

1. 周期性：分子为余弦函数（周期函数），分母为非周期函数，需判断整体是否保持周期性。
2. 有界性：分析分子和分母的取值范围，判断函数是否被有限值限制。
3. 奇偶性：通过定义验证$f(-x)$与$f(x)$的关系。

破题关键：

• 分子有界性：$\cos(x-2)$的值域为$[-1,1]$，分母$1+x^2 \geq 1$，因此分式整体有界。
• 奇偶性验证：直接代入$f(-x)$，结合余弦函数的偶性分析。

选项分析

A. 周期函数

• 分子$\cos(x-2)$是周期函数（周期$2\pi$），但分母$1+x^2$不是周期函数。
• 周期函数与非周期函数的商不一定是周期函数。例如，$\cos(x)/x$无周期性。
• 结论：$f(x)$不是周期函数，排除A。

B. 有界函数

• $\cos(x-2)$的取值范围为$[-1,1]$，分母$1+x^2 \geq 1$，因此：
  $|f(x)| = \left|\frac{\cos(x-2)}{1+x^2}\right| \leq \frac{1}{1+x^2} \leq 1.$
• 结论：$f(x)$是有界函数，B正确。

C. 奇函数

• 奇函数需满足$f(-x) = -f(x)$。计算得：
  $f(-x) = \frac{\cos(-x-2)}{1+x^2} = \frac{\cos(x+2)}{1+x^2}.$
• 与原函数$f(x) = \frac{\cos(x-2)}{1+x^2}$对比，除非$\cos(x+2) = -\cos(x-2)$恒成立，但显然不成立。
• 结论：$f(x)$不是奇函数，排除C。

D. 偶函数

• 偶函数需满足$f(-x) = f(x)$。由上述计算可知：
  $f(-x) = \frac{\cos(x+2)}{1+x^2} \neq \frac{\cos(x-2)}{1+x^2} = f(x).$
• 结论：$f(x)$不是偶函数，排除D。