设函数f(x)=(x-2)|x-2|，则f'(x)在x=2处(,,,,,)A、不连续，可导B、不连续，不可导C、连续，可导D、连续，不可导

本题主要考察分段函数在分段点处的连续性与可导性，具体步骤如下：

步骤1：将函数写成分段形式

函数$f(x)=(x-2)|x-2|$含绝对值，需去绝对值符号：

• 当$x \geq 2$时，$|x-2|=x-2$，故$f(x)=(x-2)^2$；
• 当$x < 2$时，$|x-2|=-(x-2)$，故$f(x)=-(x-2)^2$。

步骤2：判断$x=2$处的连续性

连续性需满足$\lim_{x \to 2^-}f(x)=\lim_{x \to 2^+}f(x)=f(2)$：

• $\lim_{x \to 2^-}f(x)=\lim_{x \to 2^-}[-(x-2)^2]=0$；
• $\lim_{x \to 2^+}f(x)=\lim_{x \to 2^+}(x-2)^2=0$；
• $f(2)=(2-2)^2=0$。

显然$\lim_{x \to 2^-}f(x)=\lim_{x \to 2^+}f(x)=f(2)$，故$f(x)$在$x=2$处连续。

步骤3：判断$x=2$处的可导性

可导性需满足左右导数存在且相等，导数定义为：
$f'(2)=\lim_{x \to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x \to 2}\frac{f(x)}{x-2}$

左导数$f'_-(2)$：

$f'_-(2)=\lim_{x \to 2^-}\frac{-(x-2)^2}{x-2}=\lim_{x \to 2^-}[-(x-2)]=0$

右导数$f'_+(2)$：

$f'_+(2)=\lim_{x \to 2^+}\frac{(x-2)^2}{x-2}=\lim_{x \to 2^+}(x-2)=0$

左右导数均为0，故$f(x)$在$x=2$处可导？

矛盾点：原答案错误？

原解答认为“$x=2$为拐点，不可导”，但计算表明左右导数相等（均为0），故$x=2$处可导。可能原解答混淆了“拐点”与“可导性”：

• 二阶导数：$x>2$时$f''(x)=2$，$x<2$时$f''(x)=-2$，二阶导数在$x=2$处变号，故$x=2$是拐点，但拐点处可以可导（如本题）。

正确结论

$f(x)$在$x=2$处连续且可导，但选项中无此对应？原题目选项可能存在笔误，根据计算：

• 若选项D为“连续，可导”，则选D；若原选项D为“连续，不可导”，则题目错误。