1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且 X=1 =P X=2 , 求λ.

考查要点：本题主要考查泊松分布的概率公式及其应用，以及根据概率相等建立方程求解参数的能力。

解题核心思路：

1. 泊松分布公式：回忆泊松分布的概率质量函数形式，即$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$。
2. 建立方程：根据题目条件$P(X=1) = P(X=2)$，将$k=1$和$k=2$代入公式，得到关于$\lambda$的方程。
3. 解方程：通过代数变形求解$\lambda$，注意排除不符合实际意义的解（如$\lambda \leq 0$）。

破题关键点：

• 正确写出泊松分布的表达式，并代入$k=1$和$k=2$的情况。
• 消去公共因子$e^{-\lambda}$简化方程。
• 验证解的合理性，确保$\lambda$为正数。

步骤1：写出泊松分布的概率公式
泊松分布的概率质量函数为：
$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \quad (k=0,1,2,\dots)$

步骤2：代入条件$P(X=1) = P(X=2)$
当$k=1$时：
$P(X=1) = \frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \lambda e^{-\lambda}$
当$k=2$时：
$P(X=2) = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$
根据题意，两者相等：
$\lambda e^{-\lambda} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$

步骤3：消去公共因子并解方程
两边同时除以$e^{-\lambda}$（因$e^{-\lambda} \neq 0$）：
$\lambda = \frac{\lambda^2}{2}$
整理方程：
$\lambda^2 - 2\lambda = 0$
因式分解：
$\lambda(\lambda - 2) = 0$
解得：
$\lambda = 0 \quad \text{或} \quad \lambda = 2$

步骤4：验证解的合理性
泊松分布的参数$\lambda$表示平均发生次数，必须为正数，因此舍去$\lambda = 0$，最终得：
$\lambda = 2$