【例题3.4.4中等题】(2023数学一/二 5分)设函数y=f(x)由{}x=2t+|t|y=|t|sin t.确定，则（）A. f(x)连续，f'(0)不存在B. f'(0)存在，f'(x)在x=0处不连续C. f'(x)连续，f''(0)不存在D. f''(0)存在，f''(x)在x=0处不连续

考查要点：本题主要考查参数方程确定的函数的连续性、可导性及导数连续性，特别是分段点$x=0$处的性质。

解题核心思路：

1. 参数方程转显式函数：根据$t$的正负分情况消去参数$t$，将$x$和$y$表示为$x$的函数。
2. 连续性分析：验证$x=0$处左右极限是否等于函数值。
3. 一阶导数分析：分别求$x>0$和$x<0$时的导数，判断$f'(0)$是否存在及是否连续。
4. 二阶导数分析：进一步求二阶导数，判断$f''(0)$是否存在及是否连续。

破题关键点：

• 分段处理：绝对值函数导致参数方程分$t \geq 0$和$t < 0$两种情况。
• 导数计算：注意左右导数的计算及极限是否存在。
• 导数连续性：通过左右极限是否相等判断导数连续性。

参数方程转换

• 当$t \geq 0$时：$x = 3t$，$t = \frac{x}{3}$，代入$y$得：
  $y = \frac{x}{3} \sin\left(\frac{x}{3}\right) \quad (x \geq 0)$
• 当$t < 0$时：$x = t$，$t = x$，代入$y$得：
  $y = -x \sin x \quad (x < 0)$

连续性分析

• 左极限（$x \to 0^-$）：$\lim_{x \to 0^-} (-x \sin x) = 0$
• 右极限（$x \to 0^+$）：$\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{3} \sin\left(\frac{x}{3}\right) = 0$
• 函数值：$f(0) = 0$
• 结论：函数$f(x)$在$x=0$处连续。

一阶导数分析

• 当$x > 0$时：
  $f'(x) = \frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3}\right) + \frac{x}{9} \cos\left(\frac{x}{3}\right)$
• 当$x < 0$时：
  $f'(x) = -\sin x - x \cos x$
• 左导数（$x \to 0^-$）：$\lim_{x \to 0^-} (-\sin x - x \cos x) = 0$
• 右导数（$x \to 0^+$）：$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3}\right) + \frac{x}{9} \cos\left(\frac{x}{3}\right)\right) = 0$
• 结论：$f'(0)$存在且等于$0$，且$f'(x)$在$x=0$处连续。

二阶导数分析

• 当$x > 0$时：
  $f''(x) = \frac{2}{9} \cos\left(\frac{x}{3}\right) - \frac{x}{27} \sin\left(\frac{x}{3}\right)$
• 当$x < 0$时：
  $f''(x) = -2 \cos x + x \sin x$
• 左极限（$x \to 0^-$）：$\lim_{x \to 0^-} (-2 \cos x + x \sin x) = -2$
• 右极限（$x \to 0^+$）：$\lim_{x \to 0^+} \frac{2}{9} \cos\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{2}{9}$
• 结论：二阶导数在$x=0$处左右极限不相等，故$f''(0)$不存在。