题目

求曲线 ^3-xy+(y)^3=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离,

求曲线 ${x}^{3}-xy+{y}^{3}$ =1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离,

题目解答

答案

曲线上任取一点p(x,y),其到原点的距离d= $\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ ,构造拉格朗日函数L= ${x}^{2}+{y}^{2}+λ({x}^{3}-xy+{y}^{3}-1)$ ,令

$\left\lbrace\begin{array}{c} \frac{\partial L}{\partial x}=2x+λ(3{x}^{2}-y)=0(1) \cr \frac{\partial L}{\partial y}=2y+λ(-x+3{y}^{2})=0(2)\cr \frac{\partial L}{\partial λ}={x}^{3}-xy+{y}^{3}-1=0(3)\end{array}\right .$

(1)-(2)得(x-y)[2+λ+3λ(x+y)]=0,即x=y或x+y=- $\frac{2+λ}{3λ}$ ,

(1)+(2)得(2-λ)(x+y)+3λ( ${x}^{2}+{y}^{2}$ )=0.

若x=y,代入(3)可得x=y=1,此时d= $\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{2}$ ;

若x+y=- $\frac{2+λ}{3λ}$ ,代入(2-λ)(x+y)+3λ( ${x}^{2}+{y}^{2}$ )=0可得 ${x}^{2}+{y}^{2}$ =- $\frac{{λ}^{2}-4}{9{λ}^{2}}$ ,

进一步有 $xy=\frac{(x+y{)}^{2}-({x}^{2}+{y}^{2})}{2}$ = $\frac{\frac{(λ+2{)}^{2}}{9{λ}^{2}}+\frac{{λ}^{2-4}}{9{λ}^{2}}}{2}$ = $\frac{{λ}^{2}+2λ}{9{λ}^{2}}$ .

而 ${x}^{3}-xy+{y}^{3}=1$ 可变为(x+y)( ${x}^{2}+{y}^{2}-xy$ )-xy=1,把 ${x}^{2}+{y}^{2},x+y,xy$ 代入此方程得

$-\frac{2+λ}{3λ}(-\frac{{λ}^{2}-4}{9{λ}^{2}}-\frac{{λ}^{2}+2λ}{9{λ}^{2}})-\frac{{λ}^{2}+2λ}{9{λ}^{2}}=1$ ,简化为 ${λ}^{3}=-\frac{2}{7},$ 即 $λ=-\sqrt{\frac{2}{7}}.$

但此时 $xy=\frac{λ+2}{9λ}$ <0,不满足x≥0,y≥0,所以在x≥0,y≥0内只有一个驻点(1,1).再考虑边界上的情况,当x=0时,y=1.有 $d=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ =1,

当y=0时,x=1,有 $d=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ =1.

综上所述,可知最远距离为 $\sqrt{2}$ ,最近距离为1.

解析

考查要点：本题主要考查约束条件下多元函数的极值求解，涉及拉格朗日乘数法的应用，以及边界条件分析的能力。

解题核心思路：

构造拉格朗日函数，将距离平方作为目标函数，约束条件为给定曲线方程。
联立方程求驻点，通过消元或对称性假设（如$x=y$）简化计算。
验证解的合理性，排除不满足$x \geq 0, y \geq 0$的解。
分析边界情况，即$x=0$或$y=0$时的取值，综合比较所有可能情况。

破题关键点：

对称性假设：通过$x=y$快速找到有效驻点$(1,1)$。
边界条件处理：当$x=0$或$y=0$时，直接代入约束方程求解。
排除无效解：非对称解可能导致$xy<0$，需舍弃。

构造拉格朗日函数
目标函数为距离平方$d^2 = x^2 + y^2$，约束条件为$x^3 - xy + y^3 = 1$，构造：
$L = x^2 + y^2 + \lambda(x^3 - xy + y^3 - 1)$

求偏导并联立方程
对$x, y, \lambda$求偏导，得方程组：
$\begin{cases}2x + \lambda(3x^2 - y) = 0 \quad (1) \\2y + \lambda(-x + 3y^2) = 0 \quad (2) \\x^3 - xy + y^3 = 1 \quad (3)\end{cases}$

对称性分析

假设$x = y$：
代入方程$(3)$得$2x^3 - x^2 = 1$，解得$x = y = 1$，对应距离$d = \sqrt{2}$。
非对称情况：
通过$(1)-(2)$得$(x - y)[2 + \lambda + 3\lambda(x + y)] = 0$，若$x \neq y$，则需满足$x + y = -\frac{2 + \lambda}{3\lambda}$。进一步代入方程$(1)+(2)$并化简，最终解得$\lambda = -\sqrt{\frac{2}{7}}$，但此时$xy < 0$，与$x \geq 0, y \geq 0$矛盾，故舍弃。

边界情况分析

当$x = 0$时，方程$(3)$变为$y^3 = 1$，解得$y = 1$，对应$d = 1$。
当$y = 0$时，同理得$x = 1$，对应$d = 1$。

综合比较
唯一有效驻点$(1,1)$对应$d = \sqrt{2}$，边界点对应$d = 1$，故最远距离为$\sqrt{2}$，最近距离为$1$。