1.31 设向量组α_(1)=(2,0,0)^T,α_(2)=(0,0,-1)^T，则下列向量中可以由α_(1),α_(2)线性表示的是（）。A. (-1,-1,-1)^TB. (0,-1,-1)^TC. (-1,-1,0)^TD. (-1,0,-1)^T

考查要点：本题主要考查向量的线性组合概念，即判断给定向量是否能由指定向量组线性表示。

解题核心思路：

1. 线性组合的结构分析：根据向量组$\alpha_1, \alpha_2$的分量形式，写出任意线性组合的通式，明确各分量的约束条件。
2. 关键约束条件：通过通式发现，第二个分量必须为0，从而快速排除不符合条件的选项。
3. 验证可行性：对符合条件的选项，进一步验证是否存在系数使其他分量匹配。

设向量$\vec{v} = (x, y, z)^T$可由$\alpha_1 = (2, 0, 0)^T$和$\alpha_2 = (0, 0, -1)^T$线性表示，则存在实数$k_1, k_2$，使得：
$\vec{v} = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 = (2k_1, 0, -k_2)^T$
由此可得方程组：
$\begin{cases}x = 2k_1 \\y = 0 \\z = -k_2\end{cases}$
关键结论：向量$\vec{v}$的第二个分量$y$必须为0。

选项分析：

• A：$(-1, -1, -1)^T$，$y = -1 \neq 0$，排除。
• B：$(0, -1, -1)^T$，$y = -1 \neq 0$，排除。
• C：$(-1, -1, 0)^T$，$y = -1 \neq 0$，排除。
• D：$(-1, 0, -1)^T$，$y = 0$，满足条件。

进一步验证D选项：

• 由$x = -1 = 2k_1$，得$k_1 = -\frac{1}{2}$。
• 由$z = -1 = -k_2$，得$k_2 = 1$。
  因此，存在$k_1 = -\frac{1}{2}$和$k_2 = 1$，使得$\vec{v} = (-1, 0, -1)^T$可由$\alpha_1, \alpha_2$线性表示。