设随机变量X的概率密度函数为f_X(x)，则Y=X^3的概率密度函数为()A. f(y)= f_X(sqrt[3](y))cdot (1)/(3) y^-(2)/(3)B. f(y)= f_X(y)C. f(y)= f_X(x^3)cdot 3x^2D. f(y)= f_X(sqrt[3](y))

考查要点：本题主要考查随机变量函数的概率密度求解方法，特别是利用变量变换法推导新随机变量的概率密度函数。

解题核心思路：
当随机变量 $Y$ 是 $X$ 的严格单调可导函数时，可通过以下步骤求 $Y$ 的概率密度函数：

1. 确定反函数：将 $Y = g(X)$ 反解为 $X = g^{-1}(Y)$；
2. 计算导数：求反函数对 $y$ 的导数 $\frac{d}{dy} g^{-1}(y)$；
3. 代入公式：$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|$。

破题关键点：

• 识别函数单调性：$Y = X^3$ 在全体实数上严格单调递增，满足变量变换法的条件；
• 正确计算反函数的导数：反函数为 $X = y^{1/3}$，其导数为 $\frac{1}{3} y^{-2/3}$；
• 代入公式时注意变量替换：原密度函数中的变量需替换为反函数表达式。

步骤1：确定反函数
由 $Y = X^3$ 得反函数 $X = Y^{1/3}$，即 $g^{-1}(y) = y^{1/3}$。

步骤2：计算反函数的导数
对 $y$ 求导：
$\frac{d}{dy} y^{1/3} = \frac{1}{3} y^{-2/3}.$

步骤3：代入变量变换公式
根据公式：
$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right| = f_X(y^{1/3}) \cdot \frac{1}{3} y^{-2/3}.$

选项分析：

• 选项A 正确匹配推导结果；
• 选项D 缺少导数项；
• 选项C 错误地保留了原变量 $x$；
• 选项B 未进行任何变换。