(8) lim _(xarrow dfrac {pi )(2)}dfrac (tan x)(tan 3x)

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用变量替换或等价无穷小处理在特定角度下的三角函数极限问题。

解题核心思路：当$x$趋近于$\dfrac{\pi}{2}$时，$\tan x$和$\tan 3x$均趋向于无穷大，但直接代入会导致$\dfrac{\infty}{\infty}$型不定式。此时，通过变量替换将问题转化为关于$t$的表达式，利用等价无穷小$\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right) \approx \dfrac{1}{t}$进行化简，即可快速求解。

破题关键点：

1. 变量替换：令$t = \dfrac{\pi}{2} - x$，当$x \to \dfrac{\pi}{2}$时，$t \to 0$。
2. 等价无穷小：利用$\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right) \approx \dfrac{1}{t}$简化表达式。

步骤1：变量替换
令$t = \dfrac{\pi}{2} - x$，则当$x \to \dfrac{\pi}{2}$时，$t \to 0$。此时：

• $\tan x = \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - t\right) = \cot t \approx \dfrac{1}{t}$（当$t \to 0$时）。
• $\tan 3x = \tan\left(3\left(\dfrac{\pi}{2} - t\right)\right) = \tan\left(\dfrac{3\pi}{2} - 3t\right) = \cot 3t \approx \dfrac{1}{3t}$（当$t \to 0$时）。

步骤2：代入化简
原式可转化为：
$\lim_{t \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{t}}{\dfrac{1}{3t}} = \lim_{t \to 0} \dfrac{1/t}{1/(3t)} = \lim_{t \to 0} 3 = 3.$