题目

单选题（共10题，100.0分）7.（10.0分）已知10件产品中有3件次品，现逐个不放回地检查，则查完5件产品时正好查出3件次品的概率是（）.（单选10分）A (1)/(20)B (1)/(10)C (1)/(30)D (1)/(40)

单选题（共10题，100.0分） 7.（10.0分）已知10件产品中有3件次品，现逐个不放回地检查，则查完5件产品时正好查出3件次品的概率是（）. （单选10分） A $\frac{1}{20}$ B $\frac{1}{10}$ C $\frac{1}{30}$ D $\frac{1}{40}$

题目解答

要计算查完5件产品时正好查出3件次品的概率，可以分两步进行：

前4次检查中恰好查出2件次品：从3件次品中选2件，从7件正品中选2件，总共有 $C_3^2 \times C_7^2$ 种方式。前4次的排列数为 $A_4^4$，但需注意顺序不影响组合数。
第5次检查时查出第3件次品：剩余1件次品和5件正品中，第5次必须是次品，概率为 $\frac{1}{5}$。

然而，更简便的方法是直接考虑5件产品中包含3件次品和2件正品的组合，以及第5件必须是次品的条件。

总共有 $C_{10}^5$ 种方式从10件产品中选出5件。
满足条件的组合：前4件中选2件次品和2件正品，即 $C_3^2 \times C_7^2$，第5件必须是剩余的1件次品，即 $C_1^1$。
前4件的排列数为 $A_4^4$，第5件固定为次品，因此概率为：
$P = \frac{C_3^2 \times C_7^2 \times A_4^4 \times 1}{A_{10}^5} = \frac{3 \times 21 \times 24}{30240} = \frac{1512}{30240} = \frac{1}{20}$
或者，可以简化为：
$P = \frac{C_3^2 \times C_7^2 \times 1}{C_{10}^4 \times 5} = \frac{3 \times 21}{210 \times 5} = \frac{63}{1050} = \frac{1}{20}$
因此，正确答案是 $\frac{1}{20}$。

答案：A. $\frac{1}{20}$

考查要点：本题主要考查超几何分布的应用，以及排列组合在概率问题中的运用。关键在于理解“查完5件时正好查出3件次品”的条件，即前4次恰好查出2件次品，第5次必须查出第3件次品。

解题思路：

破题关键：明确第5次必须查出次品，且前4次恰有2件次品，避免遗漏条件。

步骤1：确定有效情况数

前4次选2件次品和2件正品：
次品选择方式为$\mathrm{C}_3^2$，正品选择方式为$\mathrm{C}_7^2$，前4次排列方式为$4!$。
第5次选1件次品：
剩余1件次品，选择方式为$\mathrm{C}_1^1$。

步骤2：计算总情况数

从10件中选5件的排列数：
总排列数为$\mathrm{A}_{10}^5 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$。

步骤3：计算概率

有效情况数：
$\mathrm{C}_3^2 \times \mathrm{C}_7^2 \times 4! \times \mathrm{C}_1^1 = 3 \times 21 \times 24 \times 1 = 1512$。
概率公式：
$P = \dfrac{1512}{30240} = \dfrac{1}{20}$。