题目
4.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程:-|||-(1)曲线上任一点的切线与该点的径向夹角为α;-|||-(2)曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l;-|||-(3)曲线上任一点的切线介于两坐标轴间的部分被切点等分.
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解问题背景
对于曲线上的任意一点，我们考虑其切线与该点的径向（即从原点到该点的直线）之间的夹角为α。我们需要建立一个微分方程来描述这种关系。
步骤 2：建立切线与径向夹角的微分方程
设曲线上任意一点为$(x,y)$，则该点的径向斜率为$\frac{y}{x}$，切线斜率为$y'$。根据夹角公式，我们有：
$$\tan(\alpha) = \left|\frac{y' - \frac{y}{x}}{1 + y' \cdot \frac{y}{x}}\right|$$
由于题目中没有说明α的正负，我们假设α为正，因此可以去掉绝对值符号，得到：
$$\tan(\alpha) = \frac{y' - \frac{y}{x}}{1 + y' \cdot \frac{y}{x}}$$
整理得到：
$$y' = \frac{y + x\tan(\alpha)}{x - y\tan(\alpha)}$$
步骤 3：建立切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l的微分方程
设曲线上任意一点为$(x,y)$，切线方程为$y-y_0 = y'(x-x_0)$。切线与x轴的交点为$(x_0 - \frac{y_0}{y'}, 0)$，与y轴的交点为$(0, y_0 - x_0y')$。根据题意，这两点之间的距离为定长l，即：
$$\sqrt{(x_0 - \frac{y_0}{y'})^2 + (y_0 - x_0y')^2} = l$$
整理得到：
$$(x - \frac{y}{y'})^2 + (y - xy')^2 = l^2$$
步骤 4：建立切线介于两坐标轴间的部分被切点等分的微分方程
设曲线上任意一点为$(x,y)$，切线方程为$y-y_0 = y'(x-x_0)$。切线与x轴的交点为$(x_0 - \frac{y_0}{y'}, 0)$，与y轴的交点为$(0, y_0 - x_0y')$。根据题意，这两点之间的距离被切点等分，即：
$$x_0 - \frac{y_0}{y'} = y_0 - x_0y'$$
整理得到：
$$xy' + y = 0$$
对于曲线上的任意一点，我们考虑其切线与该点的径向（即从原点到该点的直线）之间的夹角为α。我们需要建立一个微分方程来描述这种关系。
步骤 2：建立切线与径向夹角的微分方程
设曲线上任意一点为$(x,y)$，则该点的径向斜率为$\frac{y}{x}$，切线斜率为$y'$。根据夹角公式，我们有：
$$\tan(\alpha) = \left|\frac{y' - \frac{y}{x}}{1 + y' \cdot \frac{y}{x}}\right|$$
由于题目中没有说明α的正负，我们假设α为正，因此可以去掉绝对值符号，得到：
$$\tan(\alpha) = \frac{y' - \frac{y}{x}}{1 + y' \cdot \frac{y}{x}}$$
整理得到：
$$y' = \frac{y + x\tan(\alpha)}{x - y\tan(\alpha)}$$
步骤 3：建立切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l的微分方程
设曲线上任意一点为$(x,y)$，切线方程为$y-y_0 = y'(x-x_0)$。切线与x轴的交点为$(x_0 - \frac{y_0}{y'}, 0)$，与y轴的交点为$(0, y_0 - x_0y')$。根据题意，这两点之间的距离为定长l，即：
$$\sqrt{(x_0 - \frac{y_0}{y'})^2 + (y_0 - x_0y')^2} = l$$
整理得到：
$$(x - \frac{y}{y'})^2 + (y - xy')^2 = l^2$$
步骤 4：建立切线介于两坐标轴间的部分被切点等分的微分方程
设曲线上任意一点为$(x,y)$，切线方程为$y-y_0 = y'(x-x_0)$。切线与x轴的交点为$(x_0 - \frac{y_0}{y'}, 0)$，与y轴的交点为$(0, y_0 - x_0y')$。根据题意，这两点之间的距离被切点等分，即：
$$x_0 - \frac{y_0}{y'} = y_0 - x_0y'$$
整理得到：
$$xy' + y = 0$$