2.已知 lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2+ax+b}(1-x)=1, 求常数a与b的值..

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是分式极限在分母趋近于0时的处理方法，以及如何通过极限存在性条件确定参数的值。

解题核心思路：

1. 极限存在的条件：当分母趋近于0时，若极限存在且为有限值，则分子也必须趋近于0，否则极限会趋向无穷大或不存在。
2. 分解分子：将分子拆分为与分母相关联的因式，通过约分简化表达式，进而求出参数。
3. 代数方程联立：利用分子在特定点的值为0和极限值的条件，建立方程组求解参数。

破题关键点：

• 分子在$x=1$处的值为0，即$1 + a + b = 0$。
• 化简分式：通过分解分子，将分式转化为可约分的形式，从而求出极限表达式。

步骤1：确定分子在$x=1$处的值为0
因为分母$\lim_{x \to 1} (1 - x) = 0$，而极限$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{1 - x} = 1$存在，所以分子在$x=1$处的值也必须为0：
$1^2 + a \cdot 1 + b = 0 \implies 1 + a + b = 0.$

步骤2：分解分子并化简分式
将分子$x^2 + ax + b$拆分为$(x^2 - 1) + a(x - 1)$，则分式可表示为：
$\frac{x^2 + ax + b}{1 - x} = \frac{(x^2 - 1) + a(x - 1)}{1 - x} = \frac{(x - 1)(x + 1) + a(x - 1)}{1 - x}.$
提取公因式$(x - 1)$并约分：
$\frac{(x - 1)(x + 1 + a)}{1 - x} = -\frac{(x - 1)(x + 1 + a)}{x - 1} = -(x + 1 + a).$

步骤3：求极限并解方程
当$x \to 1$时，化简后的表达式极限为：
$\lim_{x \to 1} -(x + 1 + a) = -(1 + 1 + a) = - (2 + a).$
根据题意，该极限等于1，因此：
$- (2 + a) = 1 \implies a = -3.$
将$a = -3$代入$1 + a + b = 0$，得：
$1 - 3 + b = 0 \implies b = 2.$