题目
11.已知f(x)的定义域为[1,e],则f(e^x)的定义域为_____.
11.已知f(x)的定义域为[1,e],则f(e^x)的定义域为_____.
题目解答
答案
为了确定函数 $ f(e^x) $ 的定义域，我们需要理解函数 $ f $ 的定义域与函数 $ f(e^x) $ 的定义域之间的关系。已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $[1, e]$，这意味着 $ f $ 只在 $ x $ 的值位于 $[1, e]$ 范围内时有定义。
对于函数 $ f(e^x) $，表达式 $ e^x $ 必须位于 $ f $ 的定义域内。因此，我们需要找到 $ x $ 的值，使得 $ e^x $ 在区间 $[1, e]$ 内。
我们从不等式开始：
\[ 1 \leq e^x \leq e \]
为了解出 $ x $，我们对不等式的每一部分取自然对数（因为自然对数是一个递增函数，它保持不等式不变）：
\[ \ln(1) \leq \ln(e^x) \leq \ln(e) \]
我们知道 $ \ln(1) = 0 $ 和 $ \ln(e) = 1 $，并且 $ \ln(e^x) = x $。因此，不等式简化为：
\[ 0 \leq x \leq 1 \]
这意味着 $ x $ 的值必须位于区间 $[0, 1]$ 内。因此，函数 $ f(e^x) $ 的定义域为 $[0, 1]$。
最终答案是：
\[
\boxed{[0,1]}
\]
解析
本题主要考察抽象函数定义域的求解。函数定义域指的是自变量的取值范围，对于复合函数$f(e^x)$，需确保内层函数$(e^x$的输出值落在外层函数$f$的定义域内。
关键步骤：
- 明确已知条件：$f(x)$的定义域为$[1,e]$，即只有当$t \in [1,e]$时，$f(t)$才有意义。
2 转化为内层函数的约束：对于$f(e^x)$，令$t = e^x$，则$t$必须满足$1 \leq t \leq e$，即$1 \leq e^x \leq e$。
3 解不等式求$x$：对不等式两边取自然对数（$\ln$为单调递增函数，不等号方向不变）：
$\ln 1 \leq \ln(e^x) \leq \ln e$
化简得$0 \leq x \leq 1$。