题目
习题 5.21. 判断下列命题是否正确并说明理由. (1) 方阵A的一个特征值至少对应一个线性无关的特征向量; (4) 对于同一个矩阵来说，一个特征向量只能属于一个特征值; (5) 若n阶方阵A不可逆，则必有零特征值; (6) 设三阶矩阵A的特征值为1，-1，2，则矩阵2E+A可逆; (7) 设lambda_(0)是方阵A的一个特征值，则k+lambda_(0)是矩阵kE+A的特征值(k是常数); (8) 如果xi,eta是A的属于特征值lambda_(0)的特征向量，则其任意线性组合k_(1)xi+k_(2)eta都是A的属于lambda_(0)的特征向量(k_(1),k_(2)为任意实数);
习题 5.2
1. 判断下列命题是否正确并说明理由.
(1) 方阵A的一个特征值至少对应一个线性无关的特征向量;
(4) 对于同一个矩阵来说，一个特征向量只能属于一个特征值;
(5) 若n阶方阵A不可逆，则必有零特征值;
(6) 设三阶矩阵A的特征值为1，-1，2，则矩阵2E+A可逆;
(7) 设$\lambda_{0}$是方阵A的一个特征值，则$k+\lambda_{0}$是矩阵$kE+A$的特征值(k是常数);
(8) 如果$\xi,\eta$是A的属于特征值$\lambda_{0}$的特征向量，则其任意线性组合$k_{1}\xi+k_{2}\eta$都是A的属于$\lambda_{0}$的特征向量($k_{1},k_{2}$为任意实数);
题目解答
答案
1. **(1) 正确**
特征方程有非零解，至少有一个线性无关的特征向量。
2. **(4) 正确**
特征向量对应唯一特征值，否则导出矛盾。
3. **(5) 正确**
不可逆则行列式为零，特征值乘积为零，故有零特征值。
4. **(6) 正确**
特征值变换为 $2 + \lambda$，均为非零，可逆。
5. **(7) 正确**
特征值平移性质。
6. **(8) 不正确**
需满足线性组合非零。
\[
\boxed{
\begin{array}{ccc}
(1) & \text{正确} \\
(4) & \text{正确} \\
(5) & \text{正确} \\
(6) & \text{正确} \\
(7) & \text{正确} \\
(8) & \text{不正确} \\
\end{array}
\]