计算积分,其中C是从0到1+i的直线段(int )_(C)(x-y+i(x)^2)dz

考查要点：本题主要考查复变函数沿直线段的积分计算，需要掌握参数方程的建立、微分dz的表达式以及积分的展开与计算。

解题核心思路：

1. 参数化积分路径：将直线段C表示为参数方程，通常用参数$t \in [0,1]$表示从起点到终点的移动。
2. 表达dz和被积函数：通过参数方程求出$dz$，并将被积函数中的$x$、$y$用参数$t$表示。
3. 化简积分并计算：将复积分转化为关于$t$的实积分，展开后分项计算。

破题关键点：

• 正确参数化路径：直线段C的参数方程为$z(t) = (1+i)t$，对应$x = t$，$y = t$。
• 准确计算dz：$dz = (1+i)dt$。
• 代入被积函数：将$x - y + i x^2$代入参数化后的表达式，化简后积分转化为关于$t$的实积分。

参数化积分路径

直线段C从$0$到$1+i$，参数化为：
$z(t) = (1+i)t \quad (t \in [0,1])$
对应：
$x = t, \quad y = t$

计算dz

对$z(t)$求导：
$\frac{dz}{dt} = 1+i \quad \Rightarrow \quad dz = (1+i)dt$

代入被积函数

被积函数为：
$x - y + i x^2 = t - t + i t^2 = i t^2$

积分表达式

原积分转化为：
$\int_{C} (x - y + i x^2) dz = \int_{0}^{1} i t^2 \cdot (1+i) dt$

化简并计算

展开系数：
$i(1+i) = i + i^2 = i - 1$
积分变为：
$\int_{0}^{1} (i - 1) t^2 dt = (i - 1) \int_{0}^{1} t^2 dt = (i - 1) \cdot \frac{1}{3} = \frac{-1 + i}{3}$