题目

不讲2.一半径为R的带电球体,其电荷体密度p=Kr2,K为正常数,r为球心到球内点的矢径的大小。求此带电球体所产生的电场强度的分布。

不讲2.一半径为R的带电球体,其电荷体密度p=Kr2,K为正常数,r为球心到球内

点的矢径的大小。求此带电球体所产生的电场强度的分布。

题目解答

答案

解析

本题考查利用高斯定理求解具有球对称电荷分布的带电球体所产生的电场强度分布。解题的关键思路是根据高斯定理$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q_{enc}}{\varepsilon_{0}}$，由于电荷分布具有球对称性，电场强度方向沿径向，且在以球心为中心的同一球面上电场强度大小处处相等，所以可以选取合适的高斯面（同心球面）来简化计算。具体步骤如下：

  1. 计算球内（$r \lt R$）的电场强度
    • 首先，计算半径为$r$的高斯面内所包含的电荷量$q$。根据电荷体密度的定义$\rho = Kr^{2}$，在球坐标系中，体积元$dV = 4\pi r'^{2}dr'$（这里$r'$是积分变量），则$q=\int_{V}\rho dV=\int_{0}^{r}\rho\cdot4\pi r'^{2}dr'$。
    • 将$\rho = Kr'^{2}$代入上式可得：
      $\begin{align*}q&=\int_{0}^{r}Kr'^{2}\cdot4\pi r'^{2}dr'\\&=4\pi K\int_{0}^{r}r'^{4}dr'\end{align*}$
    • 根据积分公式$\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C$（$n\neq - 1$），对$\int_{0}^{r}r'^{4}dr'$进行计算：
      $\int_{0}^{r}r'^{4}dr'=\left[\frac{1}{5}r'^{5}\right]_{0}^{r}=\frac{1}{5}r^{5}$
    • 所以$q = 4\pi K\cdot\frac{1}{5}r^{5}=\frac{4}{5}\pi Kr^{5}$。
    • 然后，选取半径为$r$的同心球面作为高斯面，根据高斯定理$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q_{enc}}{\varepsilon_{0}}$，由于$\vec{E}$与$d\vec{S}$方向相同，$\vec{E}\cdot d\vec{S}=E dS$，且在高斯面上$E$大小处处相等，所以$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=E\oint_{S}dS$，而$\oint_{S}dS = 4\pi r^{2}$，则有$4\pi r^{2}E_{内}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}$。
    • 将$q=\frac{4}{5}\pi Kr^{5}$代入可得：
      $\begin{align*}4\pi r^{2}E_{内}&=\frac{\frac{4}{5}\pi Kr^{5}}{\varepsilon_{0}}\\E_{内}&=\frac{Kr^{3}}{5\varepsilon_{0}}(r \lt R)\end{align*}$
  2. 计算球外（$r \gt R$）的电场强度
    • 计算半径为$r$的高斯面内所包含的电荷量$q$，此时高斯面包含了整个带电球体，所以积分上限为$R$，即$q=\int_{V}\rho dV=\int_{0}^{R}\rho\cdot4\pi r'^{2}dr'$。
    • 同样将$\rho = Kr'^{2}$代入可得：
      $\begin{align*}q&=\int_{0}^{R}Kr'^{2}\cdot4\pi r'^{2}dr'\\&=4\pi K\int_{0}^{R}r'^{4}dr'\end{align*}$
    • 对$\int_{0}^{R}r'^{4}dr'$进行计算：
      $\int_{0}^{R}r'^{4}dr'=\left[\frac{1}{5}r'^{5}\right]_{0}^{R}=\frac{1}{5}R^{5}$
    • 所以$q = 4\pi K\cdot\frac{1}{5}R^{5}=\frac{4}{5}\pi KR^{5}$。
    • 选取半径为$r$的同心球面作为高斯面，根据高斯定理$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q_{enc}}{\varepsilon_{0}}$，$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=E\oint_{S}dS = 4\pi r^{2}E_{外}$，则有$4\pi r^{2}E_{外}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}$。
    • 将$q=\frac{4}{5}\pi KR^{5}$代入可得：
      $\begin{align*}4\pi r^{2}E_{外}&=\frac{\frac{4}{5}\pi KR^{5}}{\varepsilon_{0}}\\E_{外}&=\frac{KR^{5}}{5\varepsilon_{0}r^{2}}(r \gt R)\end{align*}$