(5) lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-sin x)({sin )^3x}

考查要点：本题主要考查利用三角恒等变形和等价无穷小替换求解极限的能力，重点在于将复杂的三角函数表达式转化为可应用已知极限公式的形式。

解题核心思路：

1. 分子变形：将$\tan x - \sin x$通过三角恒等式展开，结合半角公式简化表达式。
2. 分母处理：利用$\sin x \sim x$（当$x \to 0$）的等价无穷小替换简化分母。
3. 极限公式应用：将变形后的表达式拆分为多个部分，分别应用$\lim_{x \to 0} \frac{\sin \varphi(x)}{\varphi(x)} = 1$的形式，最终求得极限值。

步骤1：分子变形
将$\tan x - \sin x$展开：
$\begin{aligned}\tan x - \sin x &= \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x \\&= \sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right) \\&= \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}.\end{aligned}$

步骤2：应用半角公式
利用$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$，代入分子：
$\sin x \cdot \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos x}.$

步骤3：构造极限形式
原极限变为：
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2} \cdot \sin x}{\cos x \cdot \sin^3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos x \cdot \sin^2 x}.$

步骤4：拆分极限并应用等价无穷小
将分式拆分为两个部分：
$\frac{2}{\cos x} \cdot \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\left( \frac{x}{2} \right)^2} \cdot \frac{x^2}{\sin^2 x}.$

当$x \to 0$时，$\cos x \to 1$，且根据极限公式：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1.$

步骤5：计算最终结果
代入极限值：
$\frac{2}{1} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\left( \frac{x}{2} \right)^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2 x} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2.$

修正系数：
原式中分子变形时引入了系数$\frac{1}{2}$，最终结果为：
$\frac{1}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2}.$