1.计算下列极限:-|||-(1) lim _(xarrow 2)dfrac ({x)^2+5}(x-3) =-|||-(4) lim _(xarrow 1)dfrac (4{x)^3-2(x)^2+x}(3{x)^2+2x} =-|||-(7) lim _(xarrow infty )dfrac ({x)^2-1}(2{x)^2-x-1} =-|||-(2) lim _(xarrow sqrt {3)}dfrac ({x)^2-3}({x)^2+1} =-|||-(5) lim _(harrow 0)dfrac ({(x+h))^2-h}(h) =-|||-(8) lim _(xarrow infty )dfrac ({x)^3+x}({x)^4-3(x)^2+1} ;-|||-(3) lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2-2x}({x)^2-1} =-|||-(6) lim _(xarrow infty )(2-dfrac (1)(x)+dfrac (1)({x)^2}) =-|||-(9) lim _(xarrow 4)dfrac ({x)^2-6x+8}({x)^2-5x+4} =

极限计算是微积分的基础，主要考查对函数在某点附近趋势的判断。解题核心思路包括：

1. 直接代入法：当函数在该点连续时，直接代入；
2. 分解约简法：分子分母因式分解后约去公因式；
3. 无穷大比较：最高次项系数比值；
4. 洛必达法则（未定式时使用）。

(1) $\lim _{x\rightarrow 2}\dfrac {{x}^{2}+5}{x-3}$

直接代入法：分母不为零，直接代入计算。

• 分子：$2^2 + 5 = 9$
• 分母：$2 - 3 = -1$
• 结果：$\dfrac{9}{-1} = -9$

(2) $\lim _{x\rightarrow \sqrt{3}}\dfrac {{x}^{2}-3}{{x}^{2}+1}$

直接代入法：分母恒正，分子代入$x=\sqrt{3}$后为$0$。

• 分子：$(\sqrt{3})^2 - 3 = 0$
• 分母：$(\sqrt{3})^2 + 1 = 4$
• 结果：$\dfrac{0}{4} = 0$

(3) $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {{x}^{2}-2x}{{x}^{2}-1}$

分解约简法：

• 分子：$x(x-2)$
• 分母：$(x-1)(x+1)$
• 代入$x=1$时分母趋近于$0$，分子趋近于$-1$，极限不存在。

(4) $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {4{x}^{3}-2{x}^{2}+x}{3{x}^{2}+2x}$

直接代入法：

• 分子：$4(1)^3 - 2(1)^2 + 1 = 3$
• 分母：$3(1)^2 + 2(1) = 5$
• 结果：$\dfrac{3}{5}$

(5) $\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {{(x+h)}^{2}-h}{h}$

展开化简：

• 分子展开：$x^2 + 2xh + h^2 - h$
• 分式拆分：$\dfrac{x^2}{h} + 2x + h - 1$
• 当$h \rightarrow 0$时，$\dfrac{x^2}{h} \rightarrow \infty$，极限为无穷大。

(6) $\lim _{x\rightarrow \infty }\left(2-\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{{x}^{2}}\right)$

无穷小量替换：

• $\dfrac{1}{x} \rightarrow 0$，$\dfrac{1}{x^2} \rightarrow 0$
• 结果：$2 - 0 + 0 = 2$

(7) $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{2}-1}{2{x}^{2}-x-1}$

最高次项比值：

• 分子最高次项$x^2$，分母最高次项$2x^2$
• 结果：$\dfrac{1}{2}$

(8) $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{3}+x}{{x}^{4}-3{x}^{2}+1}$

最高次项比值：

• 分子最高次项$x^3$，分母最高次项$x^4$
• 结果：$\dfrac{x^3}{x^4} = \dfrac{1}{x} \rightarrow 0$

(9) $\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {{x}^{2}-6x+8}{{x}^{2}-5x+4}$

分解约简法：

• 分子：$(x-2)(x-4)$
• 分母：$(x-1)(x-4)$
• 约分后：$\dfrac{x-2}{x-1}$
• 代入$x=4$：$\dfrac{4-2}{4-1} = \dfrac{2}{3}$