14.用行列式的性质证明:-|||- |} (a)_(1)+k(b)_(1) (a)_(2)+k(b)_(2) (a)_(3)+k(b)_(3) . C2 = a2 b2 C2-|||-C3 a3 b3 C3
题目解答
答案
解析
本题主要考察行列式的性质，包括行列式按列拆分性质、行列式中某一列成比例则行列式为零的性质等，用于证明等式左边的行列式等于右边的行列式。
题目核心分析
需证明：
$\left|\begin{matrix}a_1+k{b}_1 & b_1+c_1 & c_1 \\ a_2+k{b}_2 & b_2+c_2 & c_2 \\ a_3+k{b}_3 & b_3+c_3 & c_3\end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{matrix}\right|$
方法1：行列式按列拆分
步骤1：拆分第一列和第二列
根据行列式性质，若某列可拆为两列之和，则行列式可拆为两个行列式之和：
$\text{左边} = \left|\begin{matrix}a_1 & b_1+c_1 & c_1 \\ a_2 & b_2+c_2 & c_2 \\ a_3 & b_3+c_3 & c_3\end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix}k{b}_1 & b_1+c_1 & c_1 \\ k{b}_2 & b_2+c_2 & c_2 \\ k{b}_3 & b_3+c_3 & c_3\end{matrix}\right|$
步骤2：继续拆分第二个和第四个行列式的第二列
$\left|\begin{matrix}a_1 & b_1+c_1 & c_1 \\ \vdots \\ \vdots\end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix}a_1 & b_1 & c_1 \\ \vdots \\ \vdots\end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix}a & c_1 \\ \vdots \\ \vdots\end{matrix}\right|$
$\left|\begin{matrix}k{b}_1 & b_1+c_1 & c_1 \\ \vdots \\ \vdots\end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix}k{b}_1 & b_1 & c_1 \\ \vdots \\ \vdots\end{matrix}\right| + \\]
步骤3：判断零行列式
后三个行列式中，均存在两列完全相同（如第二列和第三列均为$c_1,c_2,c_3$），根据“行列式两列相同则值为零”的性质，这三个行列式均为0，仅剩：
\[\left|\begin{matrix}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{matrix}\right| = \text{右边}$
方法2：列变换简化
步骤1：第二列减去第三列
对左边行列式作列变换$C_2 \leftarrow C_2 - C_3$，得：
$\left|\begin{matrix}a_1+k{b}_1 & b_1 & c_1 \\ a_2+k{b}_2 & b_2 & c_2 \\ a_3+k{b}_3 & b_3 & c_3\end{matrix}\right|$
步骤2：第一列减去$k$倍第二列
作列变换$C_1 \leftarrow C_1 - kC_2$，得：
$\left|\begin{matrix}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_ & c_3\end{matrix}\right| = \text{右边}$