1.求下列极限:-|||-(1) lim _(xarrow 0)dfrac (sin 2x)(x);-|||-(3) lim _(xarrow dfrac {pi )(2)}dfrac (cos x)(x-dfrac {pi )(2)}-|||-(2) lim _(xarrow 0)dfrac (sin {x)^3}({(sin x))^2};-|||-(4) lim _(xarrow 0)dfrac (tan x)(x);1.求下列极限:-|||-(1) lim _(xarrow 0)dfrac (sin 2x)(x);-|||-(3) lim _(xarrow dfrac {pi )(2)}dfrac (cos x)(x-dfrac {pi )(2)}-|||-(2) lim _(xarrow 0)dfrac (sin {x)^3}({(sin x))^2};-|||-(4) lim _(xarrow 0)dfrac (tan x)(x);

本题主要考查利用重要极限$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$及函数极限的运算法则求解极限，具体分析如下：

(1) $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{x}$

利用重要极限$\lim _{t\rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}=1$，令$t=2x$，则：
$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{x}=2\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{2x}=2\times1=2$

(2) $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin x^3}{(\sin x)^2}$

当$x\rightarrow0$时，$\sin x\sim x$，$\sin x^3\sim x^3$，则：
$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin x^3}{(\sin x)^2}\sim\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x^3}{x^2}=\lim _{x\rightarrow 0}x=0$

(3) $\lim _{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{x-\frac{\pi }{2}}$

令$t=x-\frac{\pi }{2}$，则$x=t+\frac{\pi }{2}$，当$x\rightarrow\frac{\pi }{2}$时$t\rightarrow0$，且$\cos x=\cos\left(t+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin t$，则：
$\lim _{t\rightarrow 0}\frac{-\sin t}{t}=-\lim _{t\rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}=-1$

(4) $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}$

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，则：
$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}=1\times1=1$

(5) $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$

化简分子：$\tan x-\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=\sin x\left(\frac{1-\cos x}{\cos x}\right)$，利用$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$，则：
$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin x(1-\cos x)}{x^3\cos x}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}\cdot\frac{1}{\cos x}=1\cdot\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}$

(6) $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\arctan x}{x}$

令$t=\arctan x$，则$x=\tan t$，当$x\rightarrow0$时$t\rightarrow0$，则：
$\lim _{t\rightarrow 0}\frac{t}{\tan t}=\lim _{t\rightarrow 0}\frac{t}{\sin t}\cdot\cos t=1\times1=1$

(7) $\lim _{x\rightarrow +\infty }x\sin \frac{1}{x}$

令$t=\frac{1}{x}$，当$x\rightarrow+\infty$时$t\rightarrow0^+$，则：
$\lim _{t\rightarrow 0^+}\frac{\sin t}{t}=1$

(8) $\lim _{x\rightarrow a}\frac{\sin^2 x-\sin^2 a}{x-a}$

利用平方差公式：$\sin^2 x-\sin^2 a=(\sin x-\sin a)(\sin x+\sin a)$，再用和差化积：
$\sin x-\sin a=2\cos\frac{x+a}{2}\sin\frac{x-a}{2}$
则：
$\lim _{x\rightarrow a}\cos\frac{x+a}{2}\cdot\frac{\sin\frac{x-a}{2}}{\frac{x-a}{2}}\cdot(\sin x+\sin a)=\cos a\cdot1\cdot2\sin a=\sin 2a$

(9) $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin 4x}{\sqrt{x+1}-1}$

分母有理化：$\sqrt{x+1}-1=\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}$，则：
$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin 4x}{x}\cdot(\sqrt{x+1}+1)=4\times2=8$

(10) $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1-\cos x^2}}{1-\cos x}$

利用$1-\cos t=2\sin^2\frac{t}{2}$，则：
$\sqrt{1-\cos x^2}=\sqrt{2}\left|\sin\frac{x^2}{2}\right|\approx\sqrt{2}\cdot\frac{x^2}{2}\quad(1-\cos x\approx\frac{x^2}{2})$
$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2}\cdot\frac{x^2}{2}}{\frac{x^2}{2}}=\sqrt{2}$